《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

27. (10分)如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图,利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:先求圆台的表面积和体积.
　构造如图所示的三角形,OA = OB,CD//AB,AB = 6cm,CD = 4cm,EF = CG = 5cm,则梯形ABDC可表示圆台的主视图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AE=$\frac{1}{2}$AB = 3cm,EG=$\frac{1}{2}$CD = 2cm,
∴AG = AE - EG = 3 - 2 = 1(cm),
　在Rt△ACG中,AC=$\sqrt{CG^{2}+AG^{2}}=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$(cm).
∵CD//AB,
∴△OCD∽△OAB.
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OF}{OE}=\frac{OF}{OF + EF}$，
　即$\frac{4}{6}=\frac{OF}{OF + 5}$，解得OF = 10cm,
∴OE = OF + EF = 10 + 5 = 15(cm),
　由$\frac{OC}{AC}=\frac{OF}{EF}=\frac{2}{1}$，得OC = 2AC = 2$\sqrt{26}$cm.
∴OA = OC + AC = 3$\sqrt{26}$cm,
∴手电筒圆台部分的表面积为S₁=$\pi\times(\frac{6}{2})^{2}+(\frac{1}{2}\times6\pi\times3\sqrt{26}-\frac{1}{2}\times4\pi\times2\sqrt{26})$=(9 + 5$\sqrt{26}$)$\pi$(cm²).
圆台的体积为V₁=$\frac{1}{3}\pi\times(\frac{6}{2})^{2}\times15-\frac{1}{3}\pi\times(\frac{4}{2})^{2}\times10=\frac{95}{3}\pi$(cm³).
又
∵手电筒圆柱部分的表面积为S₂=$\pi\times(\frac{4}{2})^{2}+\pi\times4\times12 = 52\pi$(cm²)，
圆柱的体积为V₂=$\pi\times(\frac{4}{2})^{2}\times12 = 48\pi$(cm³)，
该手电筒的表面积S = S₁ + S₂=(9 + 5$\sqrt{26}$)$\pi$+52$\pi$=(61 + 5$\sqrt{26}$)$\pi$(cm²)，
该手电筒的体积为V = V₁ + V₂=$\frac{95}{3}\pi+48\pi=\frac{239}{3}\pi$(cm³).