《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

25. (10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB = AD，$AE^{2}=OE\cdot BE$.
(1)求证：①∠EAD = ∠ABE；②BE = EC；
(2)若BD：CD = 4：3，CE = 8，求线段AE的长.

答案：

(1)①证明：
∵ $AE^2 = OE\cdot BE$，
∴ $\frac{OE}{AE}=\frac{AE}{BE}$，
∵ $\angle AEO = \angle BEA$，
∴ $\triangle AEO\sim\triangle BEA$，
∴ $\angle EAD = \angle ABE$；
②证明：
∵ $AB = AD$，
∴ $\angle ABD = \angle ADB$，
∵ $\angle ABD = \angle ABE + \angle CBE$，$\angle ADB = \angle EAD + \angle C$，
由①知：$\angle EAD = \angle ABE$，
∴ $\angle CBE = \angle C$，
∴ $BE = EC$；
(2)解：过点$A$作$AF\perp BD$于点$F$，交$BE$于点$G$，连接$GD$，如图，
∵ $AB = AD$，$AF\perp BD$，
∴ $BF = FD$，即$AF$为$BD$的垂直平分线，
∴ $GB = GD$，
∴ $\angle GBC = \angle GDF$，
由
(1)②知：$\angle CBE = \angle C$，
∴ $\angle GDB = \angle C$，
∴ $GD// EC$，
∴ $\triangle BGD\sim\triangle BEC$，
∴ $\frac{GD}{EC}=\frac{BD}{BC}$，
∵ $BD:CD = 4:3$，
∴ $\frac{BD}{BC}=\frac{4}{7}$，
∴ $\frac{GD}{8}=\frac{4}{7}$，
∴ $GD = \frac{32}{7}$，
∵ $BD:CD = 4:3$，$BF = FD$，
∴ $FD:DC = 2:3$，
∴ $\frac{FD}{FC}=\frac{2}{5}$，
∵ $GD// EC$，$\triangle FGD\sim\triangle FAC$，
∴ $\frac{GD}{AC}=\frac{FD}{FC}$，$\frac{\frac{32}{7}}{AC}=\frac{2}{5}$，
∴ $AC = \frac{80}{7}$，
∴ $AE = AC - EC = \frac{80}{7}-8 = \frac{24}{7}$.