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2025年全练单元卷九年级数学下册人教版
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24. (8分)在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于点$A(2,4)$，$B(4,n)$. C是y轴上的一点，连接CA，CB.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)若△ABC的面积是6，求点C的坐标.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)若△ABC的面积是6，求点C的坐标.
答案：
解：
(1)
∵ 点$A(2,4)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象上，
∴ $m = 2×4 = 8$，
∴ 反比例函数解析式为$y = \frac{8}{x}$；
又
∵ 点$B(4,n)$在$y = \frac{8}{x}$上，
∴ $n = 2$，
∴ 点$B$的坐标为(4,2)，
把$A(2,4)$和$B(4,2)$两点的坐标代入一次函数$y = kx + b$得
$\begin{cases}2k + b = 4\\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 6\end{cases}$，
∴ 一次函数的解析式为$y = -x + 6$；
(2)对于一次函数$y = -x + 6$，令$x = 0$，则$y = 6$，即$D(0,6)$，
根据题意得$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×CD×(x_B - x_A)$
$=\frac{1}{2}×CD×(4 - 2)=6$，
解得$CD = 6$，
∴ $OC = 0$或12，
∴ $C(0,0)$或(0,12).
(1)
∵ 点$A(2,4)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象上，
∴ $m = 2×4 = 8$，
∴ 反比例函数解析式为$y = \frac{8}{x}$；
又
∵ 点$B(4,n)$在$y = \frac{8}{x}$上，
∴ $n = 2$，
∴ 点$B$的坐标为(4,2)，
把$A(2,4)$和$B(4,2)$两点的坐标代入一次函数$y = kx + b$得
$\begin{cases}2k + b = 4\\4k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 6\end{cases}$，
∴ 一次函数的解析式为$y = -x + 6$；
(2)对于一次函数$y = -x + 6$，令$x = 0$，则$y = 6$，即$D(0,6)$，
根据题意得$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×CD×(x_B - x_A)$
$=\frac{1}{2}×CD×(4 - 2)=6$，
解得$CD = 6$，
∴ $OC = 0$或12，
∴ $C(0,0)$或(0,12).
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