《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

22.(6分)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，$\sin A = \frac{2}{5}$，求BC的长和$\tan B$的值.

答案： 解：$\because\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5},AB = 10$, $\therefore BC = AB\times\frac{2}{5}=10\times\frac{2}{5}=4$. 又$\because AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=2\sqrt{21}$, $\therefore\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$.

23.(8分)如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)
　　

答案：
解：过点$P$作$PD\perp AB$于点$D$. 由题意知$\angle DPB = 45^{\circ}$. 在$Rt\triangle PBD$中,$\cos45^{\circ}=\frac{PD}{PB}$, $\therefore PB=\frac{PD}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}PD$, $\because$点$A$在点$P$的北偏东$65^{\circ}$方向上, $\therefore\angle APD = 25^{\circ}$. 在$Rt\triangle PAD$中,$\cos25^{\circ}=\frac{PD}{PA}$, $\therefore PD = PA\cdot\cos25^{\circ}=80\cdot\cos25^{\circ}$, $\therefore PB=\sqrt{2}PD=\sqrt{2}\cdot80\cdot\cos25^{\circ}=80\sqrt{2}\cos25^{\circ}$. 
　　　　　　 

24.(8分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD = 2，BD = 6，$\tan B = \frac{2}{3}$，点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长；
(2)求∠EAB的正弦值.
　　　　

答案：
 解：
(1)$\because CD\perp AB$, $\therefore\triangle ACD,\triangle BCD$均为直角三角形, 在$Rt\triangle CDB$中,$BD = 6,\tan B=\frac{CD}{BD}=\frac{2}{3}$, $\therefore CD = 4$, 在$Rt\triangle CDA$中,$AC=\sqrt{CD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$;
(2)如图,过点$E$作$EF\perp AB$,垂足为$F$, $\because CD\perp AB,EF\perp AB$, $\therefore CD\parallel EF,\therefore\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BD}$, 又$\because$点$E$是边$BC$的中点, $\therefore BE=\frac{1}{2}BC,\therefore BF=\frac{1}{2}BD$, $\therefore EF$是$\triangle BCD$的中位线, $\therefore DF = BF = 3,EF=\frac{1}{2}CD = 2$, $\therefore AF = AD + DF = 5$, 在$Rt\triangle AEF$中,$AE=\sqrt{AF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$, $\therefore\sin\angle EAB=\frac{EF}{AE}=\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$