《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

24. （8分）如图，已知矩形$ABCD$的边长$AB = 2$，$AB$边在$x$轴上，双曲线$y = \frac{k}{x}$在第一象限内的部分经过$D$点以及$BC$的中点$E$.
（1）求$A$点的横坐标；
（2）连接$ED$，若四边形$ABED$的面积为6，求双曲线的函数解析式.

答案： 解：
(1)设$A(a,0)$，$D(a,b)$，则$B(a + 2,0)$，$C(a + 2,b)$，
∵$E$是$BC$的中点，
∴$E(a + 2,\frac{1}{2}b)$，
∵双曲线$y = \frac{k}{x}$在第一象限内的部分经过$D$点以及$BC$的中点$E$，
∴$ab = (a + 2) \times \frac{1}{2}b$，
∴$a = 2$，
∴点$A$的横坐标为$2$；
(2)
∵$AD = b$，$BE = \frac{1}{2}b$，$AB = 2$，四边形$ABED$的面积为$6$，
∴$S_{四边形ABED} = \frac{1}{2} \times 2(b + \frac{1}{2}b) = 6$，
∴$b = 4$，
∴$D(2,4)$，
∵双曲线$y = \frac{k}{x}$经过$D$点，
∴$k = 2\times4 = 8$，
∴双曲线的函数解析式为$y = \frac{8}{x}$.