《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

22. （7分）已知$y$与$x + 1$成反比例，且当$x = - 2$时，$y = - 3$.
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）当$x = \frac{1}{2}$时，求$y$的值.

答案： 解：
(1)设$y = \frac{k}{x + 1}(k \neq 0)$，
把$x = -2$，$y = -3$代入，得$\frac{k}{-2 + 1} = -3$，
解得$k = 3$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{3}{x + 1}$；
(2)把$x = \frac{1}{2}$代入$y = \frac{3}{x + 1}$，
得$y = \frac{3}{\frac{1}{2} + 1} = 2$.

23. （8分）已知$A( - 4,2)$，$B(n, - 4)$两点是一次函数$y = kx + b$和反比例函数$y = \frac{m}{x}$图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求$\triangle AOB$的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式$kx + b - \frac{m}{x} ＞ 0$的解集.

答案： 解：
(1)把$A(-4,2)$代入$y = \frac{m}{x}$，
得$m = 2\times(-4) = -8$，
∴反比例函数解析式为$y = -\frac{8}{x}$，
把$B(n,-4)$代入$y = -\frac{8}{x}$，得$-4n = -8$，
解得$n = 2$，
把$A(-4,2)$和$B(2,-4)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}-4k + b = 2 \\ 2k + b = -4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = -2 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y = -x - 2$；
(2)$y = -x - 2$中，令$y = 0$，则$x = -2$，
即直线$y = -x - 2$与$x$轴交于点$C(-2,0)$，
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 6$；
(3)由图可得，不等式$kx + b - \frac{m}{x} ＞ 0$的解集为$x ＜ -4$或$0 ＜ x ＜ 2$.