《2025年全练单元卷九年级数学下册人教版》

25. (10分)如图，分别位于反比例函数$y=\frac{1}{x}$，$y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上的两点$A$，$B$，与原点$O$在同一直线上，且$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；
(2)过点$A$作$x$轴的平行线交$y=\frac{k}{x}$的图象于点$C$，连接$BC$，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
解：
(1)作$AE$，$BF$分别垂直于$x$轴，垂足为$E$，$F$，
$\therefore AE// BF$，
$\therefore \triangle AOE\sim\triangle BOF$，又$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}=\frac{EA}{FB}=\frac{1}{3}$.
由点$A$在函数$y = \frac{1}{x}$的图象上，设$A$的坐标是$(m,\frac{1}{m})$，
$\therefore \frac{OE}{OF}=\frac{m}{OF}=\frac{1}{3}$，$\frac{EA}{FB}=\frac{\frac{1}{m}}{FB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore OF = 3m$，$BF = \frac{3}{m}$，
即$B$的坐标是$(3m,\frac{3}{m})$.
又点$B$在$y = \frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore \frac{3}{m}=\frac{k}{3m}$，解得$k = 9$，
则反比例函数$y = \frac{k}{x}$的表达式是$y = \frac{9}{x}$；
(2)由
(1)可知，$A(m,\frac{1}{m})$，$B(3m,\frac{3}{m})$，
又已知过$A$作$x$轴的平行线交$y = \frac{k}{x}$的图象于点$C$.
$\therefore C$的纵坐标是$\frac{1}{m}$，把$y = \frac{1}{m}$代入$y = \frac{9}{x}$得$x = 9m$，
$\therefore C$的坐标是$(9m,\frac{1}{m})$，
$\therefore AC = 9m - m = 8m$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times8m\times\frac{2}{m}=8$.