《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册人教版》

9. 若对于实数$x$和$y$，定义一种运算“$\triangle$”：$x\triangle y = ax + by + c$，其中$a$，$b$，$c$为常数，例如：$3\triangle2 = 3a + 2b + c$. 已知$1\triangle1 = 0$，$4\triangle2 = 3$，$9\triangle(-3) = 28$，则$5\triangle7$的值为________.

答案： -10

10. 解方程组：
（1）$\begin{cases}2a - b = 4, \\ a - 2b + c = 4, \\ a - b + 2c = 1;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}, \\ x + y + z = 24.\end{cases}$

答案：
(1)$\begin{cases}a = 1\\b = -2\\c = -1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x = 6\\y = 8\\z = 10\end{cases}$

11.（教材 P111 习题 10.4 第 3 题变式）在关于$x$的方程$y = ax^{2} + bx + c$中，已知$a + b + c = 0$，且当$x = 2$时，$y = 3$；当$x = 3$时，$y = 28$. 求$a$，$b$，$c$的值，并求当$x = -1$时，$y$的值.

答案： 由题意，得$\begin{cases}a + b + c = 0\\4a + 2b + c = 3\\9a + 3b + c = 28\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 11\\b = -30\\c = 19\end{cases}$，$\therefore y = 11x^{2}-30x + 19$。当$x = -1$时，$y = 11\times(-1)^{2}-30\times(-1)+19 = 60$

12. 为确保信息安全，在传输时往往需加密. 当发送方发出一组密码$a$，$b$，$c$时，接收方对应收到的密码是$A$，$B$，$C$，双方约定：$A = 2a - b$，$B = 2b$，$C = b + c$. 例如：发出 1，2，3，则收到 0，4，5.
（1）当发送方发出一组密码 2，3，5 时，接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方一组一组密码 2，8，11 时，发送方发出的密码是多少？

答案：
(1) 由题意，得$A = 2\times2 - 3 = 1$，$B = 2\times3 = 6$，$C = 3 + 5 = 8$。
$\therefore$接收方收到的密码是1，6，8
(2) 由题意，得$\begin{cases}2a - b = 2\\2b = 8\\b + c = 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = 4\\c = 7\end{cases}$，$\therefore$发送方发出的密码是3，4，7