《2025年通城学典课时作业本七年级数学下册人教版》

7. 如图，直线$m// n$，$AB\perp BC$，$\angle 1 = 35^{\circ}$，$\angle 2 = 62^{\circ}$，则$\angle BCD$的度数为 （ ）
A. $97^{\circ}$ B. $117^{\circ}$ C. $125^{\circ}$ D. $152^{\circ}$

答案：
B 解析：如图，过点B作BE//m，过点C作CF//n。因为m//n，所以m//BE//CF//n。所以∠ABE = ∠1 = 35°，∠BCF = ∠EBC，∠DCF = ∠2 = 62°。又因为AB⊥BC，所以∠ABC = 90°。所以∠EBC = 90° - 35° = 55°。所以∠BCF = ∠EBC = 55°。所以∠BCD = ∠BCF + ∠DCF = 55° + 62° = 117°。

8. 如图，直线$AE// DF$，若$\angle ABC = 120^{\circ}$，$\angle DCB = 95^{\circ}$，则$\angle 1+\angle 2 =$_______.

答案： 35°

9. 如图，若$AB// EF$，$\angle C = 90^{\circ}$，则$\alpha$，$\beta$与$\gamma$之间的数量关系是____________.

答案： α + β - γ = 90°

10. 学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知$AB// CD$.
（1）如图①，若$\angle C = 3\angle B$，求$\angle B$的度数.
（2）如图②，当点 E，F 在两平行线之间，且位于点 B，C 所在直线的异侧时，求证：$\angle B+\angle E=\angle C+\angle F$.
（3）在（2）的条件下，如图③，$\angle ABE = 3\angle EBP$，$\angle CFE = 3\angle EFP$. 若$\angle E = 88^{\circ}$，$\angle C = 130^{\circ}$，求$\angle BPF$的度数.

答案： （1）因为AB//CD，所以∠B + ∠C = 180°。因为∠C = 3∠B，所以∠B + 3∠B = 180°。所以∠B = 45°。
（2）过点E向右作EM//AB，过点F向左作FN//AB。因为AB//CD，所以AB//CD//EM//FN。所以∠B + ∠BEF + ∠FEM = 180°，∠EFN + ∠EFC + ∠C = 180°，∠EFN = ∠FEM。所以∠B + ∠BEF = ∠C + ∠EFC。
（3）由（2），知∠ABE + ∠E = ∠CFE + ∠C，所以∠ABE - ∠CFE = ∠C - ∠E = 130° - 88° = 42°。因为∠ABE = 3∠EBP，∠CFE = 3∠EFP，所以∠EBP - ∠EFP = 14°。设BP交EF于点O。因为∠EBO + ∠E + ∠BOE = ∠POF + ∠EFP + ∠P = 180°，∠BOE = ∠POF，∠E = 88°，所以∠EBO + 88° = ∠P + ∠EFP。所以∠P = 88° + ∠EBO - ∠EFP = 88° + 14° = 102°

11. 已知$AB// CD$，$\angle ABE$与$\angle CDE$的平分线相交于点 F.
（1）如图①，若$\angle E = 80^{\circ}$，求$\angle BFD$的度数；
（2）如图②，$\angle ABM=\frac{1}{3}\angle ABF$，$\angle CDM=\frac{1}{3}\angle CDF$，写出$\angle M$与$\angle E$之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若$\angle ABM = \frac{1}{n}\angle ABF$，$\angle CDM = \frac{1}{n}\angle CDF$，设$\angle E = m$，直接用含 m，n 的式子表示$\angle M$的度数.

答案：
（1）如图，分别过点E，F作EG//AB，FH//AB。因为AB//CD，所以EG//AB//FH//CD。所以∠ABF = ∠BFH，∠CDF = ∠DFH，∠ABE + ∠BEG = 180°，∠GED + ∠CDE = 180°。所以∠ABE + ∠BEG + ∠GED + ∠CDE = 360°。因为∠BED = ∠BEG + ∠GED = 80°，所以∠ABE + ∠CDE = 280°。因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，所以易得∠ABF + ∠CDF = 140°。因为∠ABF = ∠BFH，∠DFH = ∠CDF，所以∠BFD = ∠BFH + ∠DFH = ∠ABF + ∠CDF = 140°。
（2）6∠M + ∠E = 360°。因为∠ABM = 1/3∠ABF，∠CDM = 1/3∠CDF，所以∠ABF = 3∠ABM，∠CDF = 3∠CDM。因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，所以易得∠ABE = 6∠ABM，∠CDE = 6∠CDM。由（1），易得∠ABE + ∠E + ∠CDE = 360°，所以6∠ABM + 6∠CDM + ∠E = 360°。由题意，易得∠M = ∠ABM + ∠CDM，所以6∠M + ∠E = 360°。
（3）由（2），易得2n∠ABM + 2n∠CDM + ∠E = 360°。因为∠E = m，∠M = ∠ABM + ∠CDM，所以∠M = (360° - m)/2n