《2025年经纶学典提高班六年级数学下册苏教版》

4.新趋势 推导探究 如图，装满水的有盖的圆柱形容器的直径和高相等，将一个球放进圆柱形容器后盖上盖，球恰好与圆柱形容器的上、下底面及侧面紧密接触，此时容器中剩余的水正好可以装满一个与圆柱形容器等底等高的圆锥形容器。请你据此推导球的体积公式。

答案： 设球的半径为r。 圆柱形容器的容积为V₁ = $\pi r²×2r = 2\pi r³$ 圆锥形容器的容积为V₂ = $\frac{1}{3}\pi r²×2r = \frac{2}{3}\pi r³$ 球的体积为V = V₁ - V₂ = 2$\pi r³ - \frac{2}{3}\pi r³ = \frac{4}{3}\pi r³$ 所以球的体积公式为V = $\frac{4}{3}\pi r³$

5.一个直角三角形的面积是m平方分米，其有一边的长度是x分米。试证明：不论长x分米的一边是不是直角边，绕其所在的直线旋转一周后得到的立体图形的体积都是$\frac{4 πm^{2}} {3 x}$立方分米。(提示：设该直角三角形的两条直角边长度分别是a分米和b分米)

答案： 设该直角三角形的两条直角边长分别是a分米和b分米，另一边长是c分米，则2m = ab，且c分米长的边上的高是$\frac{ab}{c}$分米。若x = a，则旋转后的图形是一个圆锥，其体积等于$\frac{1}{3}×b²×\pi×a = \frac{1}{3}·\frac{a²b²}{a}\pi = \frac{4\pi m²}{3x}$(立方分米)；若x = b，同理可知其体积为$\frac{4\pi m²}{3x}$立方分米；若x = c，则旋转后的图形可以看作两个圆锥组合，其体积等于$\frac{1}{3}×(\frac{ab}{c})²×\pi×c = \frac{1}{3}·\frac{a²b²}{c}\pi = \frac{4\pi m²}{3x}$(立方分米)。综上所述，不论长x分米的一边是不是直角边，绕其所在的直线旋转一周后得到的立体图形的体积都是$\frac{4\pi m²}{3x}$立方分米。

6.把一个圆锥沿底面直径和高平均切成两部分，截面的形状是什么？如果切开之后表面积增加了60平方厘米，圆锥的高是15厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米?

答案： 等腰三角形 60÷2×2÷15÷2 = 2(厘米)
$\frac{1}{3}×3.14×2²×15 = 62.8$(立方厘米)
答：圆锥的体积是62.8立方厘米。

7.新情境 生活百科 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量(单位：毫米)。某活动小组自制了一个底面直径为200毫米，高为300毫米的圆锥形雨量器。若一次降雨过程中，该雨量器收集的24小时的雨水高度是150毫米 (如图所示)，则这24小时降雨量的等级是哪一个？
|等级|小雨|中雨|大雨|暴雨|
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|24小时降雨量/mm|0.1~9.9|10.0~24.9|25.0~49.9|50.0~99.9|

答案： 200÷2 = 100(毫米)
3.14×100² = 31400(平方毫米)
$\frac{1}{3}×3.14×50²×150 = 392500$(立方毫米)
392500÷31400 = 12.5(毫米) 10.0＜12.5＜24.9
答：这24小时降雨量的等级属于中雨。
提示：平地上积水的体积为V = Sh，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，先计算出雨量器底面的面积，然后计算出收集了多少雨水，最后用总体积除以雨量器底面积即可得降雨量。