《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

【延伸拓展】 在同一坐标系中判断二次函数和一次函数的图象
在同一直角坐标系中，一次函数$y = ax + c$与二次函数$y = ax^{2}+c$的图象可能为　(　　　)
　　　　　 　　　　

答案： [延伸拓展]B

1. 抛物线$y = x^{2}+\frac{1}{4}$的开口向______，顶点坐标为________，对称轴是______．

答案： 上 $(0,\frac{1}{4})$ $y$ 轴

2. 已知二次函数$y = 2x^{2}-1$，如果$y$随$x$的增大而增大，那么$x$的取值范围是________．

答案： $x＞0$

3. 已知抛物线$y = ax^{2}+k$向下平移2个单位后，所得抛物线为$y = -3x^{2}+2$，则$a =$________，$k =$________．

答案： $-3$ 4

探究一　二次函数$y = a(x - h)^2$与$y = ax^2$的图象的关系
[操作发现]
(1)在如图26 - 2 - 6所示的平面直角坐标系中，画出函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2$的图象.
列表：


描点、连线，画出这两个函数的图象.
(2)根据所画出的图象，说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，填写下表：

(3)在上面的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{1}{2}(x + 1)^2$的图象，指出它与函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象的联系与区别. 函数$y=\frac{1}{2}(x + 1)^2$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象经过怎样的平移得到的?

答案：
探究一
[操作发现]
解：
(1)填表如下：
|$x$|…|-3|-2|-1|0|1|2|3|4|5|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$y=\frac{1}{2}x^2$|…|$\frac{9}{2}$|2|$\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|2|$\frac{9}{2}$|8|$\frac{25}{2}$|…|
|$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2$|…|$\frac{25}{2}$|8|$\frac{9}{2}$|2|$\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|2|$\frac{9}{2}$|…|
描点、连线，画出这两个函数的图象如图.

(2)填表如下：
| |开口方向|对称轴|顶点坐标|
|----|----|----|----|
|$y=\frac{1}{2}x^2$|向上|$y$轴|(0,0)|
|$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2$|向上|直线$x = 2$|(2,0)|
(3)图略.联系：开口方向相同，两个函数的图象，其中一个可由另一个平移得到.
区别：顶点坐标不同，对称轴不同.
函数$y=\frac{1}{2}(x + 1)^2$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向左平移1个单位得到的.

[概括新知]
1. 二次函数$y = a(x - h)^2(h\neq0)$的图象：当$a＞0$时，开口向______；当$a＜0$时，开口向______；对称轴为______，顶点坐标为______.
2. 二次函数$y = a(x - h)^2$的图象与二次函数$y = ax^2$的图象的关系：
(1)二次函数$y = a(x - h)^2$与$y = ax^2$的图象的形状完全______，但位置______；二次函数$y = a(x - h)^2$的图象的顶点坐标为______，对称轴为直线______.
(2)抛物线$y = a(x - h)^2$可由抛物线$y = ax^2$向左(或右)平移得到.
当$h＞0$时，抛物线$y = ax^2$向______平移$h$个单位，得到抛物线$y = a(x - h)^2$；
当$h＜0$时，抛物线$y = ax^2$向______平移$|h|$个单位，得到抛物线$y = a(x - h)^2$.

答案： [概括新知]
1. 上 下 直线$x = h$ $(h,0)$
2.
(1)相同 不同 $(h,0)$ $x = h$ 
(2)右 左