《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

模块4 圆周角定理及其推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于该弧所对的圆心角的______；相等的圆周角所对的弧______．半圆或直径所对的圆周角都等于______，90°的圆周角所对的弦是______．

答案： 相等　一半　相等　90°(直角)　直径

例4 如图27 - T - 3，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AC·CE = 2PD·AD．

答案： 证明:
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，即AD⊥BC.又
∵AB = AC，
∴D是BC的中点.
(2)在△BEC与△ADC中，
∵∠C = ∠C，∠CBE = ∠CAD，
∴△BEC∽△ADC.
(3)
∵△BEC∽△ADC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}$.
∵D是BC的中点，
∴2BD = 2CD = BC，
∴$\frac{2BD}{AC}=\frac{CE}{BD}$，即2BD² = AC·CE. ①
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴∠CAD = ∠BAD.又
∵∠CAD = ∠CBE，
∴∠CBE = ∠BAD.又
∵∠BDP = ∠ADB，
∴△BPD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{PD}{BD}$，即BD² = PD·AD. ②由①②，得AC·CE = 2BD² = 2PD·AD，
∴AC·CE = 2PD·AD.

模块5 圆内接四边形
圆内接四边形的对角______．

答案： 互补

例5 如图27 - T - 4，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点．若∠AOC = 150°，求∠EBC的度数．

答案： 75°

模块6 直线与圆的位置关系
（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆______；
（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆______，此时这条直线叫做圆的______，这个公共点叫做______；
（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆______，此时这条直线叫做圆的______；
（4）切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的______；
（5）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的______；
（6）切线长：圆的切线上某一点与______之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；
（7）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的______相等，这一点和圆心的连线平分______．

答案：
(1)相离　
(2)相切　切线　切点
(3)相交　割线　
(4)切线　
(5)半径　
(6)切点
(7)切线长　这两条切线的夹角

例6 如图27 - T - 5，在△ABC中，∠A + ∠CDB = 90°，圆心O在AB上，点D在⊙O上．
求证：直线BD与⊙O相切．

答案：
证明:如图，连结OD.
∵OA = OD，
∴∠A = ∠ADO.又
∵∠A + ∠CDB = 90°，
∴∠ADO + ∠CDB = 90°，
∴∠ODB = 180°-(∠ADO + ∠CDB)= 90°，
∴BD⊥OD.又
∵OD是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切.