《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

应用一　二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与$y=a(x - h)^{2} + k$的关系　　　　
例1　求将抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-6x+21$向左平移2个单位再向下平移2个单位后得到的新抛物线所对应的函数表达式.

答案： 例1　解:将抛物线y = $\frac{1}{2}$x² - 6x + 21 = $\frac{1}{2}$(x - 6)² + 3向左平移2个单位再向下平移2个单位后得到的新抛物线所对应的函数表达式为y = $\frac{1}{2}$(x - 4)² + 1，即y = $\frac{1}{2}$x² - 4x + 9。

应用二　二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象与性质
例2　已知二次函数$y=x^{2}-8x+3$.
(1)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(2)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？

答案： 例2　解:
(1)y = x² - 8x + 3 = (x - 4)² - 13。这个二次函数的图象的对称轴是直线x = 4，顶点坐标是(4, -13)。
(2)
∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x = 4，
∴当x ＜ 4时，y随x的增大而减小。

1. 把二次函数$y = -x^2 - 4x - 5$化成$y = a(x - h)^2 + k$的形式是______________，它的图象开口向________，顶点坐标是________，对称轴是______________.

答案： $y=-(x + 2)^2 - 1$ 下 $(-2,-1)$ 直线 $x=-2$

2. 对于函数$y = -x^2 + 2x - 2$，当$x ＜ a$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＞ a$时，$y$随$x$的增大而减小，则$a$的值为________.

答案： 1

3. 已知抛物线$y = -x^2 + 4x + 4$.
　(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
　(2)当$x$为何值时，二次函数$y = -x^2 + 4x + 4$取得最大值？最大值为多少？

答案： 解：
(1)$\because y=-x^2 + 4x + 4=-(x - 2)^2 + 8$，
$\therefore$抛物线的开口向下，对称轴为直线 $x = 2$，顶点坐标为$(2,8)$。
(2)$\because$抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,8)$，$\therefore$当 $x = 2$ 时，该二次函数取得最大值，最大值是 8。