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例1 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水。柱子在水面以上部分的高度为1.25m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26 - 3 - 1①所示。
根据设计图纸已知，在图②所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是$y=-x^{2}+2x+\frac{5}{4}$，抛物线与x轴交于点B。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流都落在水池内？
根据设计图纸已知，在图②所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是$y=-x^{2}+2x+\frac{5}{4}$，抛物线与x轴交于点B。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流都落在水池内？
答案：
解:
(1)$y=-x^{2}+2x+\frac{5}{4}=-(x^{2}-2x+1)+\frac{9}{4}=-(x - 1)^{2}+\frac{9}{4}$.
$
\because a=-1
(1)$y=-x^{2}+2x+\frac{5}{4}=-(x^{2}-2x+1)+\frac{9}{4}=-(x - 1)^{2}+\frac{9}{4}$.
$
\because a=-1
例2 如图26 - 3 - 2是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽为6m，则当水面下降多少米时，水面宽为8m？
答案：
解:如图，以水平面所在的直线$AB$为$x$轴，以过拱顶$C$且垂直于$AB$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，$O$为原点.
由题意可得，$AO = OB=\frac{1}{2}AB = 3$m，抛物线顶点$C$的坐标为$(0,2)$.
可设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+2$，
把点$A(-3,0)$代入，得$9a + 2 = 0$，
解得$a=-\frac{2}{9}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{9}x^{2}+2$，
当$x = 4$时，$y=-\frac{2}{9}\times16 + 2=-\frac{14}{9}$，
$\therefore$当水面下降$\frac{14}{9}$m时，水面宽为8 m.
解:如图，以水平面所在的直线$AB$为$x$轴，以过拱顶$C$且垂直于$AB$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，$O$为原点.
由题意可得，$AO = OB=\frac{1}{2}AB = 3$m，抛物线顶点$C$的坐标为$(0,2)$.
可设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+2$，
把点$A(-3,0)$代入，得$9a + 2 = 0$，
解得$a=-\frac{2}{9}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{9}x^{2}+2$，
当$x = 4$时，$y=-\frac{2}{9}\times16 + 2=-\frac{14}{9}$，
$\therefore$当水面下降$\frac{14}{9}$m时，水面宽为8 m.
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