《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

探究二 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象与性质
[观察类比]
1. (1)观察上面[操作发现]中两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，填写下表：
　　　　　　　
(2)由函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的性质，你能说出函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的性质吗？
2. 在[操作发现]中的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{1}{2}x^{2}-2$的图象，指出它与函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$图象的联系与区别. 函数$y=\frac{1}{2}x^{2}-2$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象经过怎样的平移得到的？说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： [观察类比]
1. 解：
(1)填表如下：
| |开口方向|对称轴|顶点坐标|
|----|----|----|----|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}$|向上|$y$轴|(0,0)|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$|向上|$y$轴|(0,1)|
(2)当$x0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；当$x = 0$时，函数取得最小值，最小值$y = 1$.
2. 解：图略.联系：开口方向相同、对称轴相同，两个函数的图象，其中一个可由另一个平移得到.
区别：顶点坐标不同.
函数$y=\frac{1}{2}x^{2}-2$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象向下平移2个单位得到的.它的开口方向向上、对称轴为$y$轴，顶点坐标为(0,-2).

[概括新知]
(1)二次函数$y = ax^{2}+k(k\neq0)$的图象：当$a＞0$时，开口向______；当$a＜0$时，开口向______；对称轴为______，顶点坐标为______.
(2)二次函数$y = ax^{2}+k(k\neq0)$的性质：若$a＞0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而______，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而______；若$a＜0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而______，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而______.

答案： [概括新知]
(1)上 下 $y$轴 (0,$k$)
(2)减小 增大 增大 减小

应用二 利用二次函数$y = ax^{2}+k$的图象和性质解题
例2 (1)抛物线$y = -3x^{2}+5$的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而________，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而________，当$x =$________时，函数取得最______值，这个值是________；
(2)抛物线$y = 7x^{2}-3$的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而________，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而________，当$x =$________时，函数取得最________值，这个值是________.

答案： 例2
(1)向下 $y$轴 (0,5) 增大 减小 0 大 5
(2)向上 $y$轴 (0,-3) 减小 增大 0 小 -3

例3 二次函数$y = 2x^{2}-3$的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线经过点(2,3)
C. 抛物线的对称轴是直线$x = 1$
D. 若抛物线上有$A(1,y_{1})$，$B(3,y_{2})$两点，则$y_{1}＜y_{2}$

答案： 例3 D