《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

例3　二次函数y=a(x - m)² - n的图象如图26 - T - 1所示，则一次函数y=mx + n的图象经过（　　）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
　　　　

答案： A

例4　图26 - T - 2是抛物线y=ax²+bx+c的一部分，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的坐标为(-1，0)。有下列结论：①4ac＜b²；②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大。其中正确结论的个数是（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
　　　　

答案： B

模块4　用待定系数法求二次函数表达式
（1）已知图象上三点或三对x，y的值，一般设表达式为______；
（2）已知图象的顶点或对称轴，一般设表达式为______；
（3）已知图象与x轴的交点坐标为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，一般设表达式为______。

答案： （1）$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$
（2）$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$
（3）$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$

例5　根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式。
（1）已知抛物线的顶点坐标是(1，2)，且过点(2，3)；
（2）已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；
（3）已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且过点(0，-3)。

答案： （1）$y = x^{2}-2x + 3$
（2）$y = 5x^{2}-7x + 1$
（3）$y = -x^{2}+4x - 3$

例6　如图26 - T - 3，隧道的截面是抛物线形，抛物线的函数表达式为y=-1/4x²+4。隧道是单行道（车从正中间通过），为安全考虑，车顶与隧道顶部的垂直距离不少于0.5米。若货运汽车的宽为2米，则该车安全通过隧道的限高为______米。
　　　　

答案： 3.25

例7　某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件。假定每月的销售量y（单位：件）是销售价格x（单位：元/件）的一次函数，
（1）求y关于x的一次函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 解：（1）设$y = kx + b(k\neq0)$. 把$x = 20,y = 360$和$x = 30,y = 60$代入，可得$\begin{cases}20k + b = 360\\30k + b = 60\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -30\\b = 960\end{cases}$，$\therefore y = -30x + 960$.
（2）设每月获得的利润为$P$元，则$P = (-30x + 960)(x - 10)=-30(x - 21)^{2}+3630$.
$\because -30\lt0$，
$\therefore$当$x = 21$时，$P$有最大值，最大值为3630.
答：当销售价格定为21元/件时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元.