《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

例6 如图27 - 1 - 37，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC = 90°，AD = 12，CD = 5，则⊙O的直径是________.

答案： 13

分类讨论求弦所对的圆周角的度数
已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数.

答案：
解：分下面两种情况：如图①，
连结OA，OB，在弦AB所对的优弧上任取一点C，连结CA，CB.

∵AB=OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
即弦AB所对的圆周角的度数为30°.
如图②，连结OA，OB，在弦AB所对的劣弧上任取一点D，连结AD，OD，BD，则∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD.
∴∠BAD+∠ABD=$\frac{1}{2}$(∠BOD + ∠AOD)=$\frac{1}{2}$∠AOB.
∵AB=OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BAD+∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-(∠BAD+∠ABD)=150°，
即弦AB所对的圆周角的度数为150°.

综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.

1. 用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是　　　　　(　　　)
　

答案： B

2. 如图27−1−39，在⊙O中，∠BOC = 54°，则∠BAC的度数为(　　　)


A. 27°　　
　B. 28°　　
　C. 36°　　
　D. 54°

答案： A

3. 如图27−1−40，△ABC分别交⊙O于点A，B，D，E，且CA = CB，求证：AD = BE.

答案： 证明：
∵CA = CB，
∴∠A = ∠B，
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AE}$，
∴$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{DE}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴AD = BE.

4. 如图27−1−41，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上. 若∠AOD = 30°，求∠BCD的度数.

答案： $105^{\circ}$