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探究一 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象与$y = ax^{2}$的图象的关系
[操作发现]
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$，$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象.
(1)列表：
(2)在图26 - 2 - 4的平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象.
(3)观察列表，当自变量$x$取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象经过怎样图形变换得到的？
[操作发现]
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$，$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象.
(1)列表：
(2)在图26 - 2 - 4的平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象.
(3)观察列表，当自变量$x$取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象经过怎样图形变换得到的？
答案：
[操作发现]
解：
(1)填表如下.
|$x$|…|-3|-2|-1|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}$|…|$\frac{9}{2}$|2|$\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|2|$\frac{9}{2}$|…|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$|…|$\frac{11}{2}$|3|$\frac{3}{2}$|1|$\frac{3}{2}$|3|$\frac{11}{2}$|…|
(2)在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得函数图象如图.
(3)当自变量$x$取同一数值时，函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的值都比函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的值大1.反映在图象上，函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象上的每一点都在函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象上相应点的上方1个单位.
函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象可以看作是将函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象向上平移1个单位得到的.
[操作发现]
解：
(1)填表如下.
|$x$|…|-3|-2|-1|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}$|…|$\frac{9}{2}$|2|$\frac{1}{2}$|0|$\frac{1}{2}$|2|$\frac{9}{2}$|…|
|$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$|…|$\frac{11}{2}$|3|$\frac{3}{2}$|1|$\frac{3}{2}$|3|$\frac{11}{2}$|…|
(2)在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得函数图象如图.
(3)当自变量$x$取同一数值时，函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的值都比函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的值大1.反映在图象上，函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象上的每一点都在函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象上相应点的上方1个单位.
函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+1$的图象可以看作是将函数$y=\frac{1}{2}x^{2}$的图象向上平移1个单位得到的.
[概括新知]
二次函数$y = ax^{2}+k$的图象可由二次函数$y = ax^{2}$的图象________得到，当$k＞0$时，二次函数$y = ax^{2}$的图象向________平移________个单位得到二次函数$y = ax^{2}+k$的图象，当$k＜0$时，二次函数$y = ax^{2}$的图象向________平移________个单位得到二次函数$y = ax^{2}+k$的图象.
二次函数$y = ax^{2}+k$的图象可由二次函数$y = ax^{2}$的图象________得到，当$k＞0$时，二次函数$y = ax^{2}$的图象向________平移________个单位得到二次函数$y = ax^{2}+k$的图象，当$k＜0$时，二次函数$y = ax^{2}$的图象向________平移________个单位得到二次函数$y = ax^{2}+k$的图象.
答案：
[概括新知]
上下平移 上 $k$ 下 $|k|$
上下平移 上 $k$ 下 $|k|$
应用一 利用图象的平移进行判断
例1 抛物线$y = 2x^{2}-5$通过平移，得到抛物线$y = 2x^{2}$，则平移方式正确的是（ ）
A. 向左平移5个单位
B. 向右平移5个单位
C. 向上平移5个单位
D. 向下平移5个单位
例1 抛物线$y = 2x^{2}-5$通过平移，得到抛物线$y = 2x^{2}$，则平移方式正确的是（ ）
A. 向左平移5个单位
B. 向右平移5个单位
C. 向上平移5个单位
D. 向下平移5个单位
答案：
例1 C
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