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探究二 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的性质
[观察类比]
观察[操作发现]中画出的函数$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$的图象，说一说它有哪些性质.
[观察类比]
观察[操作发现]中画出的函数$y=\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$的图象，说一说它有哪些性质.
答案：
解:函数y=$\frac{1}{2}$(x−2)²+1的性质:当x=2时,y有最小值是1;
当x＜2时,y随x的增大而减小;当x＞2时，y随x的增大而增大.
当x＜2时,y随x的增大而减小;当x＞2时，y随x的增大而增大.
[概括新知]
二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的性质:
若$a＞0$，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x = h$时，函数有最 值，最小值为 ；若$a＜0$，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x = h$时，函数有最 值，最大值为 .
二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的性质:
若$a＞0$，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x = h$时，函数有最 值，最小值为 ；若$a＜0$，当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 ，当$x = h$时，函数有最 值，最大值为 .
答案：
减小 增大 小 k 增大 减小 大 k
应用二 利用二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的性质解题
例3 已知函数$y = 3(x - 2)^2 + 9$.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)当$x = $ 时，函数有最 值，是 .
(3)当$x$ 时，$y$随$x$的增大而增大；当$x$ 时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)函数图象上有$A(-1,y_1)$，$B(3,y_2)$两点，则$y_1$ $y_2$（填“＞”“=”或“＜”）.
例3 已知函数$y = 3(x - 2)^2 + 9$.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)当$x = $ 时，函数有最 值，是 .
(3)当$x$ 时，$y$随$x$的增大而增大；当$x$ 时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)函数图象上有$A(-1,y_1)$，$B(3,y_2)$两点，则$y_1$ $y_2$（填“＞”“=”或“＜”）.
答案：
例3 解:
(1)此函数图象的开口向上，对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,9).
(2)2 小 9
(3)＞2 ＜2
(4)＞
(1)此函数图象的开口向上，对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,9).
(2)2 小 9
(3)＞2 ＜2
(4)＞
[延伸拓展]
抛物线的对称性
如图26 - 2 - 7，在平面直角坐标系中，点$A$在第二象限，以$A$为顶点的抛物线经过原点，与$x$轴负半轴交于点$B$，对称轴为直线$x = - 2$，点$C$在抛物线上，且位于点$A$，$B$之间（点$C$不与点$A$，$B$重合）.若$\triangle ABC$的周长为$a$，则四边形$AOBC$的周长为________.(用含$a$的式子表示)
抛物线的对称性
如图26 - 2 - 7，在平面直角坐标系中，点$A$在第二象限，以$A$为顶点的抛物线经过原点，与$x$轴负半轴交于点$B$，对称轴为直线$x = - 2$，点$C$在抛物线上，且位于点$A$，$B$之间（点$C$不与点$A$，$B$重合）.若$\triangle ABC$的周长为$a$，则四边形$AOBC$的周长为________.(用含$a$的式子表示)
答案：
a+4
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