《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

(1)分别量一量图27 - 1 - 30中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？
(2)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？

答案：
(1)测量略. 比较发现∠ACB=∠ADB. 变动点C的位置，我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 规律：同弧所对的圆周角相等.
(2)测量略. 发现弧AB所对的圆周角度数是圆心角度数的一半.

[猜想证明]
已知：在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.
求证：∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB.

答案：
证明：
(1)圆心在∠ACB的边CB上. 如图(a).
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB.
∵∠AOB是△OAC的外角，
∴∠AOB=∠ACB+∠OAC=2∠ACB，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB.
(2)圆心在∠ACB的内部. 如图(b).
作直径CD，利用
(1)的结论，有∠1=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠ACB=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠AOD+∠BOD)=$\frac{1}{2}$∠AOB.
(3)圆心在∠ACB的外部. 如图(c). 作直径CD，利用
(1)的结论，有∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$(∠AOD - ∠BOD)=$\frac{1}{2}$∠AOB. 即∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB.
综上，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB.

[概括新知]
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的____________相等，都等于该弧所对的圆心角的__________；相等的圆周角所对的__________相等.

答案： 圆周角 一半 弧

例2 如图27 - 1 - 31，点A，B，C都在⊙O上，∠CAB = 70°，则∠COB的度数为（ ）

A.70°
B.80°
C.120°
D.140°

答案： D

例3 (教材典题)试分别求出图27 - 1 - 32中∠x的大小.

答案：
(1)60°
(2)50°