《2025年全品学练考九年级数学下册华师大版》

思考:图27−3−1中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?

探索:(1)圆心角为180°,占整个周角的$\frac{180}{360}$,因此它所对的弧长是圆周长的________.
　　(2)圆心角为90°,占整个周角的$\frac{90}{360}$,因此它所对的弧长是圆周长的________.
　　(3)圆心角为45°，占整个周角的________,因此它所对的弧长是圆周长的________.
　　根据以上探索过程，可得:
　　(4)圆心角为1°,占整个周角的________,因此它所对的弧长是圆周长的________.
　　(5)圆心角为n°,占整个周角的________,因此它所对的弧长是圆周长的________.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$　
(2)$\frac{1}{4}$　
(3)$\frac{45}{360}$　$\frac{1}{8}$
(4)$\frac{1}{360}$　$\frac{1}{360}$　
(5)$\frac{n}{360}$　$\frac{n}{360}$

[概括新知]
　　弧长的计算公式:半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为____________.

答案： [概括新知]
$l = \frac{n\pi r}{180}$

例1　(1)已知圆弧所在圆的半径为4,所对的圆心角为60°,则这条弧的长是__________;
　　(2)若一个扇形的圆心角为60°,它的弧长为2πcm,则这个扇形的半径为__________.

答案： 例1　
(1)$\frac{4}{3}\pi$　
(2)6 cm

1. 请你类比弧长公式的推导过程，你能推导出半径为r,圆心角为n°的扇形的面积公式吗？

答案： 1. 解:因为半径为r的圆的面积为$\pi r^{2}$,所以$1^{\circ}$的圆心角对应的扇形面积为$\frac{\pi r^{2}}{360}$,$n^{\circ}$的圆心角对应的扇形面积为$n\cdot\frac{\pi r^{2}}{360}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$,所以半径为r,圆心角为$n^{\circ}$的扇形的面积计算公式为$S_{扇形}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$.

2. 当扇形的半径为r,圆心角为n°时，扇形的面积S与弧长l之间有什么关系？

答案： 2. 解:在这两个公式中,弧长和扇形的面积都和圆心角$n^{\circ}$,半径r有关系,因此l和S之间也有一定的关系,列式表示为$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{1}{2}\times\frac{n\pi r}{180}\times r=\frac{1}{2}lr$.