《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 2.(源自苏教版教材)已知$\lg2\approx0.3010,\lg3\approx0.4771$，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)$\lg12$；
(2)$\lg\frac{27}{16}$.

答案： 解：
(1)$\lg12=\lg(2^{2}×3)=\lg2^{2}+\lg3=2\lg2+\lg3\approx2×0.3010 + 0.4771=1.0791$。
(2)$\lg\frac{27}{16}=\lg27-\lg16=3\lg3 - 4\lg2\approx3×0.4771-4×0.3010=0.2273$。

3.计算下列各式的值：
(1)$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49} - \frac{4}{3}\lg\sqrt{8} + \lg\sqrt{245}$；
(2)$\lg5^{2} + \frac{2}{3}\lg8 + \lg5·\lg20 + (\lg2)^{2}$；
(3)$\frac{\lg\sqrt{2} + \lg3 - \lg\sqrt{10}}{\lg1.8}$.

答案： 解：
(1)原式$=\frac{1}{2}(5\lg2 - 2\lg7)-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}\lg2+\frac{1}{2}(2\lg7+\lg5)$
$=\frac{5}{2}\lg2-\lg7 - 2\lg2+\lg7+\frac{1}{2}\lg5$
$=\frac{1}{2}\lg2+\frac{1}{2}\lg5$
$=\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)$
$=\frac{1}{2}\lg10$
$=\frac{1}{2}$。
(2)原式$=2\lg5 + 2\lg2+\lg5(2\lg2+\lg5)+(\lg2)^{2}=2\lg10+(\lg5+\lg2)^{2}=2 + 1=3$。
(3)原式$=\frac{\frac{1}{2}(\lg2+\lg9-\lg10)}{\lg1.8}=\frac{\lg\frac{18}{10}}{2\lg1.8}=\frac{\lg1.8}{2\lg1.8}=\frac{1}{2}$。

[学以致用] 3.求下列各式的值：
(1)$(\lg5)^{2} + \lg2·\lg50$；
(2)$\frac{2}{3}\lg8 + (\lg5)^{2} + \lg2·\lg50 + \lg25$.

答案： 解：
(1)原式$=(\lg5)^{2}+(1 - \lg5)(1+\lg5)$
$=(\lg5)^{2}+1-(\lg5)^{2}=1$。
(2)$\frac{2}{3}\lg8+(\lg5)^{2}+\lg2·\lg50+\lg2$
$=2\lg2+(\lg5)^{2}+\lg2(1+\lg5)+2\lg5$
$=2(\lg2+\lg5)+(\lg5)^{2}+\lg2+\lg2·\lg5$
$=2+\lg5(1+\lg2)+\lg2=2+\lg5+\lg2=3$。