《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 1.(多选)已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 均为实数，下列不等关系推导不成立的是 (ABC)

A.若 $a＞b$，$c＜d\Rightarrow a + c＞b + d$
B.若 $a＞b$，$c＞d\Rightarrow ac＞bd$
C.若 $bc - ad＞0$，$\frac{c}{a}-\frac{d}{b}＞0\Rightarrow b＜0$
D.若 $a＞b＞0$，$c＞d＞0\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{d}}＞\sqrt{\frac{b}{c}}$

答案： 1.ABC [对于A，由a=d＞b=c⇒a+c=b+d，可知A不成立，故A符合题意；对于B，由a＞b=0⇒c＞d⇒ac＞bd，可知B不成立，故B符合题意；对于C，若a＞0，bc-ad＞0，$\frac{c}{a}-\frac{d}{b}=\frac{bc-ad}{ab}＞0\Rightarrow ab＞0$，b＞0，可知C不成立，故C符合题意；对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0⇒$\sqrt{\frac{a}{d}}＞0$，$\sqrt{\frac{b}{c}}＞0$，$\sqrt{\frac{a}{d}}＞\sqrt{\frac{b}{c}}$，可知D成立，故D不符合题意.故选ABC.]

1.(多选)已知实数 $a$，$b$，$c$，$d$ 满足 $a＞b＞c＞d$，则下列选项中不正确的是 (ACD)

A.$a + d＞b + c$
B.$a + c＞b + d$
C.$ad＞bc$
D.$ac＞bd$

答案： 1.ACD [不妨设a=2，b=1，c=0，d=-1，此时a+d=b+c=1，故A错误，故A符合题意；ad=-2＜bc=0，故C错误，故C符合题意.设a=-3，b=-4，c=-5，d=-6，则ac=15＜bd=24，故D错误，故D符合题意.因为a＞b，c＞d，根据不等式的基本性质(同向可加性)得a+c＞b+d，故B正确，故B不符合题意.故选ACD.]

2.若 $a＞b＞0$，$c＜d＜0$，$|b|＞|c|$，求证：$\frac{b + c}{(a - c)^2}＜\frac{a + d}{(b - d)^2}$.

答案： 2.证明：因为c＜d＜0，所以-c＞-d＞0，又因为a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a-c＞b-d＞0，所以$(a-c)^2＞(b-d)^2＞0$，所以$0＜\frac{1}{(a-c)^2}＜\frac{1}{(b-d)^2}$。因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可将以上两式相加得a+d＞b+c.又|b|＞|c|，所以b+c＞0，所以0＜b+c＜a+d，由不等式的同向可乘性可得$\frac{b+c}{(a-c)^2}＜\frac{a+d}{(b-d)^2}$。

[典例讲评] 3. 已知 $-1＜x＜4$，$2＜y＜3$.
(1)求 $x - y$ 的取值范围；
(2)求 $3x + 2y$ 的取值范围.
[尝试解答]解：(1)因为-1＜x＜4，2＜y＜3，所以-3＜-y＜-2，所以-4＜x-y＜2。(2)因为-1＜x＜4，2＜y＜3，得-3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x+2y＜18。
[母题探究]
若将本例条件改为 $-1＜x＜y＜3$，求 $x - y$ 的取值范围.解：因为-1＜x＜3，-1＜y＜3，所以-3＜-y＜1，所以-4＜x-y＜4。又因为x＜y，所以x-y＜0，所以-4＜x-y＜0。

答案： 3.解：
(1)因为-1＜x＜4，2＜y＜3，所以-3＜-y＜-2，所以-4＜x-y＜2。
(2)因为-1＜x＜4，2＜y＜3，得-3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x+2y＜18。母题探究 解：因为-1＜x＜3，-1＜y＜3，所以-3＜-y＜1，所以-4＜x-y＜4。又因为x＜y，所以x-y＜0，所以-4＜x-y＜0。