《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

3. 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是$1cm^3$，2秒后染料扩散的体积是$3cm^3$，染料扩散的体积$y$与时间$x$(单位：秒)的关系有两种函数模型可供选择：
①$y = m·3^x$，②$y = m\log_3 x + b$，其中$m,b$均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到$5cm^3$，至少需要多少秒？

答案： 3.解:
(1)因为函数$y=m·3^{x}$中，$y$随$x$的增长而增长，且增长的速度越来越快，函数$y=m\log_{3}x + b$中，$y$随$x$的增长而增长，且增长的速度越来越慢，
　根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即$y=m\log_{3}x + b$，
　由题意可得$\begin{cases}m\log_{3}1 + b = 1\\m\log_{3}2 + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 1\\m = 2\log_{2}3\end{cases}$
　所以该模型的解析式为:
　$y = 2\log_{2}3\log_{3}x + 1 = 2\log_{2}x + 1$.
(2)由
(1)知:$y = 2\log_{2}x + 1$，
　由题意知:$y\geq5$，即$2\log_{2}x + 1\geq5$，则有$2\log_{2}x\geq4$，所以$\log_{2}x\geq2$，所以$x\geq4$，所以至少需要$4$秒.

1. 下列函数中，增长速度越来越慢的是(B)

A.$y = 6^x$
B.$y = \log_6 x$
C.$y = x^2$
D.$y = 6x$

答案： 1.B　[D中一次函数的增长速度不变;AC中函数的增长速度越来越快;只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.]

2. (多选)以下四种说法中，错误的是 (ABC)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的$x＞0,x^n＞\log_a x$
C.对任意的$x＞0,a^x＞\log_a x$
D.不一定存在$x_0$，当$x＞x_0$时，总有$a^x＞x^n＞\log_a x$

答案： 2.ABC　[对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较;对于BC，当$0＜a＜1$时，显然不成立;对于D,当$a＞1$，$n＞0$时，一定存在$x_{0}$，使得当$x＞x_{0}$时，总有$a^{x}＞x^{n}＞\log_{a}x$，但若去掉限制条件“$a＞1$，$n＞0$”，则结论不一定成立.故选ABC.]

3. 已知$16＜x＜20$，利用图象可判断出$x^{\frac{1}{2}}$和$\log_2 x$的大小关系为$x^{\frac{1}{2}}＞\log_{2}x$.

答案：
3.$x^{\frac{1}{2}}＞\log_{2}x$　[作出$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$和$g(x)=\log_{2}x$的图象,如图所示:
　　　　　　　　
　由图象可知,在$(0,4)$内，$x^{\frac{1}{2}}＞\log_{2}x$；$x = 4$或$x = 16$时，$x^{\frac{1}{2}}=\log_{2}x$；在$(4,16)$内，$x^{\frac{1}{2}}＜\log_{2}x$；在$(16,20)$内，$x^{\frac{1}{2}}＞\log_{2}x$.]

4. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①$y = 2x$；②$y = \frac{1}{2}(x^2 - 1)$；③$y = \log_2 x$；④$y = 2^x$.其中最接近的一个是④(只填序号).

答案： 4.④　[由表格数据增长越来越快，代入数据验证可知其中最接近的一个是$y=2^{x}$.]