《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题1 结合诱导公式:$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$，说明正切函数有什么性质?

答案： 问题1提示:$\tan(\pi+x)=\tan x$说明$y=\tan x$是周期函数,$\tan(-x)=-\tan x$说明$y=\tan x$是奇函数.

[新知生成]
正切函数$y=\tan x,x\in\mathbf{R}$且$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是$\pi$.

答案： 新知生成 奇 周期 $\pi$

1.(1)函数$f(x)=\tan(-4x+\frac{\pi}{6})$的最小正周期为 (A)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$\pi$
D.$2\pi$

答案： 典例讲评 1.
(1)A [
(1)函数$f(x)=\tan(\omega x+\varphi)$的最小正周期$T=\frac{\pi}{|\omega|}$,直接利用公式,可得$T=\frac{\pi}{|-4|}=\frac{\pi}{4}$.故选A.

(2)函数$y=\frac{x}{\tan x}$的定义域为$\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$.

答案：
(2)$\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$ [
(2)由题意可知,要使$\tan x$有意义,则$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$.
又分母$\tan x\neq0$,解得$x\neq k\pi,k\in\mathbf{Z}$.
综合可得$x\neq\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$.
所以函数$y=\frac{x}{\tan x}$的定义域为$\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$.

[学以致用] 1.函数$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}-x)+\tan x$为 (A)

A.奇函数
B.偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数

答案： 学以致用 1.A $[f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\tan x=\sin x+\tan x$,其定义域为$\left\{x\mid x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}\right\}$,定义域关于原点对称,$f(-x)=\sin(-x)+\tan(-x)=-\sin x-\tan x=-f(x)$,故函数$f(x)$为奇函数.]

问题2 如图，在单位圆中，切线$AT$交$OB$于$T$，则$AT$与$\tan x$有什么关系?由此想一下，如何画$y=\tan x,x\in[0,\frac{\pi}{2})$的图象？$AT=\tan x$.当$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$时,线段$AT$的长度就是相应角$x$的正切值.我们可以利用线段$AT$画出函数$y=\tan x,x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$的图象,如图所示.

答案：
问题2提示:$AT=\tan x$.
当$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$时,线段$AT$的长度就是相应角$x$的正切值.我们可以利用线段$AT$画出函数$y=\tan x,x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$的图象,如图所示.

问题3 利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗?对称中心$\left(\frac{k\pi}{2},0\right),k\in\mathbf{Z}$

答案： 问题3提示:对称中心$\left(\frac{k\pi}{2},0\right),k\in\mathbf{Z}$.