《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【例4】 (1)已知$a$是函数$h(x)=2^{x}-8$的零点,则函数$f(x)=ax+\ln x-5$的零点所在的区间为

A.$(0,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,4)$

答案： 例4
(1)$B$ ［
(1)由题意，$a$是函数$h(x)=2^{x}-8$的零点，即$2^{a}-8 = 0$，解得$a = 3$，
所以函数$f(x)=3x+\ln x - 5$，
又由$f(x)=3x+\ln x - 5$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(1)=-2＜0$，$f(2)=1+\ln2＞0$，可得$f(1)f(2)＜0$，根据函数零点存在定理，可得函数$f(x)=3x+\ln x - 5$的零点所在的区间为$(1,2)$.故选$B$.

(2)已知函数$f(x)=\begin{cases} x + 2 , x ＞ a , \\ x^{2} + 5x + 2 , x \leq a , \end{cases}$若方程$f(x)-2x=0$恰有三个不同的实根,则实数$a$的取值范围是

A.$[-1,1)$
B.$[-1,2)$
C.$[-2,2)$
D.$[0,2]$

答案：

(2)$B$［
(2)令$g(x)=f(x)-2x$，
因为方程$f(x)-2x = 0$恰有三个不同的实根，
所以可得函数$g(x)=\begin{cases}-x + 2,x＞a,\\x^{2}+3x + 2,x\leqslant a\end{cases}$恰有三个不同的零点.
如图，作出函数$y=-x + 2$与$y=x^{2}+3x + 2$的图象，

结合函数$y=-x + 2$与$y=x^{2}+3x + 2$的图象可知$-1\leqslant a＜2$，故选$B$.］

【例5】 【链接教材P154 练习 T2】
近年来,我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自 2020 年起,每年统计其芯片的年销售数量.将 2020 年记为第 0 年,统计数据如下表所示：

(1)在平面直角坐标系中,以$t$为横轴,$Q$为纵轴,根据表格中的数据画出散点图.

(2)为了描述年销售数量$Q$与时间$t$的关系,现有以下三种数学模型供选择：
①$Q = at + b$;②$Q = ka^{x}$;③$Q = k\log_{a}t + b$.
(ⅰ )根据数据特点,选出最合适的函数模型,说明理由,并求出相应的函数解析式；
(ⅱ )根据(ⅰ )中所选模型,预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过 2000 万片?(参考数据:$\lg 2\approx0.301,\lg 3\approx0.477$)

答案：
例5 解：
(1)

(2)(ⅰ)由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，
故选择函数模型$Q = ka^{t}$合适；
将$(0,100)$，$(1,150)$分别代入$Q = ka^{t}$，
得$\begin{cases}k = 100,\\100a = 150,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 100,\\a=\frac{3}{2}.\end{cases}$所以$Q = 100·(\frac{3}{2})^{t}$.
当$t = 2$时，$Q = 225$；当$t = 3$时，$Q = 337.5$；当$t = 4$时，$Q = 506.25$，
所以$Q = 100·(\frac{3}{2})^{t}$.
(ⅱ)令$100·(\frac{3}{2})^{t}＞2000$，则$(\frac{3}{2})^{t}＞20$，
则$t＞\log_{\frac{3}{2}}20=\frac{\lg20}{\lg\frac{3}{2}}=\frac{\lg2 + \lg10}{\lg3-\lg2}\approx\frac{0.301 + 1}{0.477 - 0.301}\approx7.39$，
所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2000万片.