《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

3. 如图所示，将一矩形花坛$ABCD$扩建为一个更大的矩形花坛$AMPN$，要求点$B$在$AM$上，点$D$在$AN$上，且对角线$MN$过点$C$.已知$AB = 4 m$，$AD = 3 m$，当$BM =$4 m 时，矩形花坛$AMPN$的面积最小.

答案： 学以致用 3.4 [设$BM = x(x＞0)$，则由$DC // AM$，得$\frac{ND}{ND + 3} = \frac{4}{4 + x}$，解得$ND = \frac{12}{x}$，
$\therefore$矩形$AMPN$的面积为$S = (4 + x)(3 + \frac{12}{x}) = 24 + 3x + \frac{48}{x} \geqslant 24 + 2\sqrt{3x · \frac{48}{x}} = 48$，当且仅当$3x = \frac{48}{x}$，即$x = 4$时等号成立。
当$BM = 4 m$时，矩形花坛$AMPN$的面积最小。

1. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用$C$(单位：万元)与仓储中心到机场的距离$s$(单位：km)之间满足的关系为$C=\frac{800}{s}+2s + 2000$，则当$C$最小时，$s$的值为 (D)

A.2 080
B.40 020
C.$20 \sqrt{2}$
D.20

答案： 1.D [因为$C = \frac{800}{s} + 2s + 2000 \geqslant 2\sqrt{\frac{800}{s} · 2s} + 2000 = 2080$，
当且仅当$\frac{800}{s} = 2s$，即$s = 20$时等号成立，
所以当$C$最小时，$s$的值为$20$。故选D。]

2.(教材 P48 练习 T1 改编)用一段长为$8 cm$的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为 (C)

A.$9 cm^2$
B.$16 cm^2$
C.$4 cm^2$
D.$5 cm^2$

答案： 2.C [设矩形的长为$x cm$，宽为$y cm$，$0 ＜ x ＜ 4$，$0 ＜ y ＜ 4$，则$2(x + y)=8$，即$x + y = 4$，
所以这个模型的面积$xy \leqslant (\frac{x + y}{2})^2 = 4$，
当且仅当$x = y = 2$时取等号，
所以这个模型的最大面积为$4 cm^2$。故选C。]

3. 某校为了庆祝建校 100 周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出$400 m^2$的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为 (C)

A.$30 m$
B.$50 m$
C.$80 m$
D.$110 m$

答案： 3.C [设该矩形区域的长为$x m$，则宽为$\frac{400}{x} m$，
则所用警戒线的长度为$2(\frac{400}{x} + x) \geqslant 2 × 2\sqrt{\frac{400}{x} · x} = 80 m$，当且仅当$\frac{400}{x} = x$，即$x = 20$时，取等号。
则所用警戒线的长度的最小值为$80 m$。故选C。]

4. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润$y$(单位：万元)与机器运转时间$x$(单位：年)的关系为$y = -x^2 + 18x - 25(x \in \mathbf{N}^*)$，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元.

答案： 4.5 8 [由题意可知，年平均利润$\frac{y}{x} = -x - \frac{25}{x} + 18 = -(x + \frac{25}{x}) + 18 \leqslant -2\sqrt{x · \frac{25}{x}} + 18 = 8$，
当且仅当$x = \frac{25}{x}$，即$x = 5$时，年平均利润最大，为$8$万元。]