《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【典例】(1)某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有$70$人听了数学讲座，$62$人听了历史讲座，$58$人听了化学讲座，记$A = \{x\mid$ $x$是听了数学讲座的学生$\}$，$B = \{x\mid$ $x$是听了历史讲座的学生$\}$，$C = \{x\mid$ $x$是听了化学讲座的学生$\}$.用$card(M)$来表示有限集合$M$中元素的个数，若$card(A\cap B)=17$，$card(A\cap C)=13$，$card(B\cap C)=5$，$A\cap B\cap C = \varnothing$，
则

A.$card(A\cap B\cap C)=3$
B.$card(A\cup B)=115$
C.$card(B\cup C)=120$
D.$card(A\cup B\cup C)=190$

答案：
(1)B　[
(1)A选项,由已知$A \cap B \cap C = \varnothing$，则$ card(A \cap B \cap C) = 0$，A选项错误;B选项，$ card(A \cup B) = card(A) + card(B) - card(A \cap B) = 70 + 62 - 17 = 115$，B选项正确;C选项，$ card(B \cup C) = card(B) + card(C) - card(B \cap C) = 62 + 58 - 5 = 115$，C选项错误;D选项，$ card(A \cup B \cup C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A \cap B) - card(A \cap C) - card(B \cap C) + card(A \cap B \cap C) = 70 + 62 + 58 - 17 - 13 - 5 + 0 = 155$，D选项错误.故选B.

(2)学校统计某班$30$名学生参加音乐、科学、体育$3$个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了$1$个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为$19$，$19$，$18$，只同时参加了音乐和科学小组的人数为$4$，只同时参加了音乐和体育小组的人数为$2$，只同时参加了科学和体育小组的人数为$4$，则同时参加了$3$个兴趣小组的人数为

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案：

(2)D　[
(2)如图，设同时参加了3个兴趣小组的人数为$x$，则$13 - x + 11 - x + 12 - x + 2 + 4 + 4 + x = 30$，解得$x = 8$，即同时参加了3个兴趣小组的人数为8.故选D.

1. 某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一(1)班共有$32$名同学提交了作品进行参赛，有$20$人提交了楷书作品，有$12$人提交了隶书作品，有$8$人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有$4$人，同时提交楷书作品和行书作品的有$2$人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有 (C)

A.$4$人
B.$3$人
C.$2$人
D.$1$人

答案：
1.C　根据题意，画出Venn图，如图所示，设同时提交隶书作品和行书作品的有$x$人，则$20 + 12 + 8 - 32 = 2 + 4 + x$，解得$x = 2$，即同时提交隶书作品和行书作品的有2人.故选C.

2. 某班参加数学、物理、化学竞赛时，有$24$名学生参加数学竞赛，$28$名学生参加物理竞赛，$19$名学生参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有$7$名，只参加数学、物理两科的有$5$名，只参加物理、化学两科的有$3$名，只参加数学、化学两科的有$4$名，若该班共有$50$名学生，则只参加数学竞赛的学生有8 名;没有参加任何一科竞赛的学生有5 名.

答案：
2.8　5　[设A，B，C分别代表参加数学、物理、化学的学生，U表示该班全体学生，作出Venn图，
由题意可得，$ card(U)=50$，$ card(A)=24$，$ card(B)=28$，$ card(C)=19$，$ card(A \cap B \cap C)=7$，$ card(A \cap B)=5$，$ card(B \cap C)=3$，$ card(A \cap C)=4$，
所以只参加数学竞赛的学生有：$24 - 5 - 7 - 4 = 8$（名），
只参加物理竞赛的学生有：$28 - 5 - 7 - 3 = 13$（名），
只参加化学竞赛的学生有：$19 - 4 - 7 - 3 = 5$（名），
没有参加任何一科竞赛的学生有：$50 - 8 - 13 - 5 - 7 - 5 - 3 - 4 = 5$（名）.]