《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[学以致用] 3. (1)设$p:-1 \leq x＜2, q:x＜a$，若$q$是$p$的必要条件，则$a$的取值范围是 (A)

A.$a \geq 2$
B.$a \leq -1$或$a \geq 2$
C.$a \leq -1$
D.$-1 \leq a＜2$

答案：
(1)A [由q是p的必要条件，得{x|-1≤x＜2}⊆{x|x＜a}，所以a≥2.故选A.]

(2)已知集合$P = \{x \mid -2＜x＜1\}, Q = \{x \mid 3m - 2 \leq x \leq 5m + 2, m \in \mathbf{R}\}$. 若$P$的必要条件为$Q$，求实数$m$的取值范围.解：由题意得，P是Q的子集，则{3m - 2≤ -2,5m + 2≥ 1, 解得-1/5≤m≤0.所以实数m的取值范围是{m|-1/5≤m≤0}.

答案：
(2)解：由题意得，P是Q的子集，
则{3m - 2≤ -2,
5m + 2≥ 1, 解得-1/5≤m≤0.
所以实数m的取值范围是{m|-1/5≤m≤0}.

1. 若$p$是$q$的充分条件，则$q$是$p$的 (B)

A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件

答案： 1.B [因为p是q的充分条件，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件.故选B.]

2. (多选)(教材 P18 例 1 改编)下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，$p$是$q$的充分条件的有(ABC)

A.若$x＜1$，则$x＜2$
B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C.若$|x| \neq 1$，则$x \neq 1$
D.若$ab＞0$，则$a＞0,b＞0$

答案： 2.ABC [由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a=b=-1，所以选项D不符合题意.故选ABC.]

3. 用符号“$\Rightarrow$”“$\nRightarrow$”填空：
(1)$x - 3 = 0$⇒$(x - 2)(x - 3) = 0$；
(2)两个三角形相似⇏两个三角形全等；
(3)$a,b$都是奇数⇏$a + b$是奇数.

答案： 3.
(1)⇒
(2)⇏
(3)⇏ [
(1)因为方程(x - 2)(x - 3)=0的根为x=2或x=3，
所以x - 3=0⇒(x - 2)(x - 3)=0，
但(x - 2)(x - 3)=0⇏x - 3=0，故填“⇒”.
(2)两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似⇏两个三角形全等，故填“⇏”.
(3)a，b都是奇数⇏a+b是奇数，且a+b是奇数⇏a，b都是奇数，故填“⇏”.]

4. 若“$x＜-1$”是“$x \leq a$”的必要条件，则$a$的取值范围是a ＜ -1.

答案： 4.a＜-1 [若“x＜-1”是“x≤a”的必要条件，
则{x|x≤a}⊆{x|x＜-1}，则a＜-1，
即实数a的取值范围是a＜-1.]