《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

▶ 探究 1 简单分式不等式的解法
问题 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 与 $(x - 2)(x + 1) ＞ 0$ 等价吗？
$\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ 与 $(x - 2)(x + 1) \geq 0$ 等价吗？
提示：$\frac {x-2} {x+1}＞0$与$(x-2)(x+1)＞0$等价；$\frac {x-2} {x+1}\geq0$与$(x-2)(x+1)\geq0$不等价，前者的解集中没有$-1$，后者的解集中有$-1$..

答案： 提示：$\frac {x-2} {x+1}＞0$与$(x-2)(x+1)＞0$等价；
$\frac {x-2} {x+1}\geq0$与$(x-2)(x+1)\geq0$不等价，前者的解集中没有$-1$，后者的解集中有$-1$.

[典例讲评] 1. 解下列不等式：
(1) $\frac{x + 1}{x - 3} \geq 0$；
(2) $\frac{x + 1}{2x - 3} \leq 1$.

答案： 解：
(1)不等式$\frac {x+1} {x-3}\geq0$可转化成不等式组$\begin{cases} (x+1)(x-3)\geq0,\\ x\neq3, \end{cases}$解得$x\leq-1$或$x＞3$.
即原不等式的解集为$\{x|x\leq-1,或x＞3\}$.
(2)因为$\frac {x+1} {2x-3}\leq1$，所以$\frac {x+1} {2x-3}-1\leq0$，
所以$\frac {-x+4} {2x-3}\leq0$，所以$\frac {x-4} {2x-3}\geq0$，
所以$(x-4)(x-\frac {3} {2})\geq0$且$x\neq\frac {3} {2}$，
从而$x＜\frac {3} {2}$或$x\geq4$.
故原不等式的解集为$\{x|x＜\frac {3} {2},或x\geq4\}$.

[学以致用] 1. 关于 $x$ 的不等式 $ax - b ＞ 0$ 的解集是 $\{ x \mid x ＞ \frac{1}{2} \}$，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{ax - 2b}{-x + 5} ＞ 0$ 的解集.
解：∵不等式$ax-b＞0$的解集是$\{x|x＞\frac {1} {2}\}$，
∴$a＞0$，且$a=2b$，
则不等式$\frac {ax-2b} {-x+5}＞0$等价于$\frac {x-1} {-x+5}＞0$.
∴$(x-1)(x-5)＜0$，解得$1＜x＜5$.
因此原不等式的解集为$\{x|1＜x＜5\}$..

答案： 解：
∵不等式$ax-b＞0$的解集是$\{x|x＞\frac {1} {2}\}$，
∴$a＞0$，且$a=2b$，
则不等式$\frac {ax-2b} {-x+5}＞0$等价于$\frac {x-1} {-x+5}＞0$.
∴$(x-1)(x-5)＜0$，解得$1＜x＜5$.
因此原不等式的解集为$\{x|1＜x＜5\}$.

[典例讲评] 2. 已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为 $\{ x \mid 2 ＜ x ＜ 3 \}$，求关于 $x$ 的不等式 $cx^2 + bx + a ＜ 0$ 的解集.
[尝试解答]
[母题探究] 本例中的条件不变，求关于 $x$ 的不等式 $cx^2 - bx + a ＞ 0$ 的解集.
解：法一：由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$，可知$a＜0$，且2和3是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根，由根与系数的关系可知$\frac {b} {a}=-5$，$\frac {c} {a}=6$.由$a＜0$知$c＜0$，$\frac {b} {c}=-\frac {5} {6}$，故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$，即$x^{2}+\frac {b} {c}x+\frac {a} {c}＞0$，即$x^{2}-\frac {5} {6}x+\frac {1} {6}＞0$，解得$x＜\frac {1} {3}$或$x＞\frac {1} {2}$，所以不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集为$\{x|x＜\frac {1} {3},或x＞\frac {1} {2}\}$.
法二：由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$，可知$a＜0$，且2和3是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根，所以$ax^{2}+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax^{2}-5ax+6a$，故$b=-5a$，$c=6a$，故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$，即$6ax^{2}-5ax+a＜0⇒6a(x-\frac {1} {3})(x-\frac {1} {2})＜0$，故原不等式的解集为$\{x|x＜\frac {1} {3},或x＞\frac {1} {2}\}$.
母题探究 解：由根与系数的关系知$\frac {b} {a}=-5$，$\frac {c} {a}=6$且$a＜0$.
∴$c＜0$，$\frac {b} {c}=-\frac {5} {6}$，故不等式$cx^{2}-bx+a＞0$，
即$x^{2}-\frac {b} {c}x+\frac {a} {c}＜0$，即$x^{2}+\frac {5} {6}x+\frac {1} {6}＜0$，
解得$-\frac {1} {2}＜x＜-\frac {1} {3}$，
故不等式的解集为$\{x|-\frac {1} {2}＜x＜-\frac {1} {3}\}$..
反思领悟 从不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集中可以获取以下信息：
(1) 二次项系数的符号.
(2) 参数 $a, b, c$ 之间的关系.

答案： 解：法一：由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$，可知$a＜0$，且2和3是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根，由根与系数的关系可知$\frac {b} {a}=-5$，$\frac {c} {a}=6$.由$a＜0$知$c＜0$，$\frac {b} {c}=-\frac {5} {6}$，故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$，即$x^{2}+\frac {b} {c}x+\frac {a} {c}＞0$，即$x^{2}-\frac {5} {6}x+\frac {1} {6}＞0$，解得$x＜\frac {1} {3}$或$x＞\frac {1} {2}$，所以不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集为$\{x|x＜\frac {1} {3},或x＞\frac {1} {2}\}$.
法二：由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$，可知$a＜0$，且2和3是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根，所以$ax^{2}+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax^{2}-5ax+6a$，故$b=-5a$，$c=6a$，故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$，即$6ax^{2}-5ax+a＜0⇒6a(x-\frac {1} {3})(x-\frac {1} {2})＜0$，故原不等式的解集为$\{x|x＜\frac {1} {3},或x＞\frac {1} {2}\}$.
母题探究 解：由根与系数的关系知$\frac {b} {a}=-5$，$\frac {c} {a}=6$且$a＜0$.
∴$c＜0$，$\frac {b} {c}=-\frac {5} {6}$，故不等式$cx^{2}-bx+a＞0$，
即$x^{2}-\frac {b} {c}x+\frac {a} {c}＜0$，即$x^{2}+\frac {5} {6}x+\frac {1} {6}＜0$，
解得$-\frac {1} {2}＜x＜-\frac {1} {3}$，
故不等式的解集为$\{x|-\frac {1} {2}＜x＜-\frac {1} {3}\}$.