《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【例 3】 已知函数$y = x^2 + (2a - 2)x + b$.
(1)若不等式$y ＞ 1$的解集为$\{x|x ＜ -2或x ＞ 3\}$，求$a$，$b$的值；
(2)若$b = -4a$，求不等式$y \leq 0$的解集.

答案： 解：
(1)由不等式$y＞1$的解集为$\{x|x＜-2或x＞3\}$，得$x^{2}+(2a-2)x+b-1＞0$的解集为$\{x|x＜-2或x＞3\}$，
因此方程$x^{2}+(2a-2)x+b-1=0$的两根为$-2$和$3$，则
$\begin{cases}-2+3=2-2a,\\-2×3=b-1.\end{cases}$解得$a=\frac{1}{2},b=-5$，
所以$a=\frac{1}{2},b=-5$.
(2)当$b=-4a$时，由$y\leq0$得$x^{2}+(2a-2)x-4a\leq0$，即$(x-2)(x+2a)\leq0$，
当$a＞-1$时，$-2a＜2$，解得$-2a\leq x\leq2$；
当$a=-1$时，$-2a=2$，解得$x=2$；
当$a＜-1$时，$-2a＞2$，解得$2\leq x\leq-2a$，
所以当$a＞-1$时，原不等式的解集为$\{x|-2a\leq x\leq2\}$；
当$a=-1$时，原不等式的解集为$\{x|x=2\}$；
当$a＜-1$时，原不等式的解集为$\{x|2\leq x\leq-2a\}$.

【例 4】 为更好地开展高一社团活动，某校学生会各部门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个部门使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积(矩形$ABCD$)为$P$，根据设计要求，它的两边都留有宽为$a$的空白，顶部和底部都留有宽为$2a$的空白.

(1)若$AB = 20 cm$，$BC = 30 cm$，且该海报的面积不超过$1000 cm^2$，求$a$的取值范围；
(2)若$a = 2 cm$，$P = 800 cm^2$，则当$AB$长多少时，能使宣传海报的面积最少？

答案： 解：
(1)依题意可得$(20+2a)(30+4a)\leq1000$，
即$2a^{2}+35a-100\leq0$，
解得$-20\leq a\leq2.5$.
又$\because a＞0$，
$\therefore a$的取值范围为$\{a|0＜a\leq2.5\}$.
(2)记宣传海报的面积为$S$，设$AB=x cm$，则$BC=\frac{800}{x} cm$，
$\therefore S=(x+4)·(\frac{800}{x}+8)=8x+\frac{3200}{x}+832=1152$.
$\geq2\sqrt{8x·\frac{3200}{x}}+832=1152$
当且仅当$8x=\frac{3200}{x}$，即$x=20$时，等号成立，
$\therefore$当$AB$长为$20 cm$时，宣传海报面积最小，最小值为$1152 cm^{2}$.