《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题5 借助$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$,能求哪几类问题的最值?当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，有①$ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$；②$a+b \geq 2\sqrt{ab}$.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.

答案： 提示:当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，有①$ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$；②$a+b \geq 2\sqrt{ab}$.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.

[新知生成]
已知$x$,$y$都为正数,则:
(1)如果积$xy$等于定值$P$,那么当且仅当$x=y$时,和$x+y$有最小值$\underline{\underline{$$2\sqrt{P}$$}}$;
(2)如果和$x+y$等于定值$S$,那么当且仅当$x=y$时,积$xy$有最大值$\underline{\underline{$$\frac{1}{4}S^2$$}}$.
简记为:积定和最小,和定积最大.

答案：
(1)$2\sqrt{P}$　
(2)$\frac{1}{4}S^2$

2.(1)(源自苏教版教材)若$m＞0$,$n＞0$,$mn=81$,则$m+n$的最小值是 (D)

A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.9
D.18

答案： D [$\because m ＞ 0$，$n ＞ 0$，$mn = 81$， $\therefore m + n \geq 2\sqrt{mn} = 18$，当且仅当$m = n = 9$时取等号，故选D.]

(2)当$x＞0$时,求$\frac{12}{x}+4x$的最小值.
[尝试解答]解：$\because x ＞ 0$，$\therefore \frac{12}{x} ＞ 0$，$4x ＞ 0$. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \geq 2\sqrt{\frac{12}{x} · 4x} = 8\sqrt{3}$. 当且仅当$\frac{12}{x} = 4x$，即$x = \sqrt{3}$时取最小值$8\sqrt{3}$， $\therefore$当$x ＞ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最小值为$8\sqrt{3}$.解：$\because x ＞ 0$，$\therefore \frac{12}{x} ＞ 0$，$4x ＞ 0$. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \geq 2\sqrt{\frac{12}{x} · 4x} = 8\sqrt{3}$. 当且仅当$\frac{12}{x} = 4x$，即$x = \sqrt{3}$时取最小值$8\sqrt{3}$， $\therefore$当$x ＞ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最小值为$8\sqrt{3}$.
[母题探究] 本例(2)的条件“$x＞0$”变为“$x＜0$”,求$\frac{12}{x}+4x$的最大值.解：$\because x ＜ 0$，$\therefore -x ＞ 0$. 则$\frac{12}{-x} + (-4x) \geq 2\sqrt{\frac{12}{-x} · (-4x)} = 8\sqrt{3}$， 当且仅当$\frac{12}{-x} = -4x$，即$x = -\sqrt{3}$时取等号. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \leq -8\sqrt{3}$ $\therefore$当$x ＜ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最大值为$-8\sqrt{3}$.解：$\because x ＜ 0$，$\therefore -x ＞ 0$. 则$\frac{12}{-x} + (-4x) \geq 2\sqrt{\frac{12}{-x} · (-4x)} = 8\sqrt{3}$， 当且仅当$\frac{12}{-x} = -4x$，即$x = -\sqrt{3}$时取等号. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \leq -8\sqrt{3}$ $\therefore$当$x ＜ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最大值为$-8\sqrt{3}$.

答案： 解：$\because x ＞ 0$，$\therefore \frac{12}{x} ＞ 0$，$4x ＞ 0$. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \geq 2\sqrt{\frac{12}{x} · 4x} = 8\sqrt{3}$. 当且仅当$\frac{12}{x} = 4x$，即$x = \sqrt{3}$时取最小值$8\sqrt{3}$， $\therefore$当$x ＞ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最小值为$8\sqrt{3}$. 母题探究　解：$\because x ＜ 0$，$\therefore -x ＞ 0$. 则$\frac{12}{-x} + (-4x) \geq 2\sqrt{\frac{12}{-x} · (-4x)} = 8\sqrt{3}$， 当且仅当$\frac{12}{-x} = -4x$，即$x = -\sqrt{3}$时取等号. $\therefore \frac{12}{x} + 4x \leq -8\sqrt{3}$ $\therefore$当$x ＜ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最大值为$-8\sqrt{3}$.

2.若$0 \leq x \leq 8$,则$\sqrt{x(8-x)}$的最大值为(B)

A.$\frac{16}{3}$
B.4
C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{5}$

答案： B [因为$0 \leq x \leq 8$，所以$8 - x \geq 0$，所以$\sqrt{x(8 - x)} \leq \frac{x + (8 - x)}{2} = 4$，当且仅当$x = 8 - x$即$x = 4$时，等号成立.]

[典例讲评] 3.(1)已知$x＞2$,则$y=x+\frac{4}{x-2}$的最小值为$\underline{\underline{$6$}}$.
(2)已知$0＜x＜\frac{1}{3}$,则$y=x(1-3x)$的最大值为$\underline{\underline{$$\frac{1}{12}$$}}$.
[尝试解答]
[母题探究] 本例(1)变为:函数$y=x+\frac{4}{x-2}(x＜2)$的最大值是 (C)
A.4
B.5
C.-2
D.2

答案： 3.
(1)6　
(2)$\frac{1}{12}$ [
(1)因为$x ＞ 2$，所以$x - 2 ＞ 0$， 所以$y = x + \frac{4}{x - 2} = x - 2 + \frac{4}{x - 2} + 2$ $\geq 2\sqrt{(x - 2) · \frac{4}{x - 2}} + 2 = 6$， 当且仅当$x - 2 = \frac{4}{x - 2}$，即$x = 4$时，等号成立. 所以$y = x + \frac{4}{x - 2}$的最小值为6.
(2)法一：$\because 0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$，$\therefore 1 - 3x ＞ 0$. $\therefore y = x(1 - 3x) = \frac{1}{3} × 3x(1 - 3x)$ $\leq \frac{1}{3} \left[ \frac{3x + (1 - 3x)}{2} \right]^2 = \frac{1}{12}$， 当且仅当$3x = 1 - 3x$，即$x = \frac{1}{6}$时，等号成立. $\therefore$当$x = \frac{1}{6}$时，$y = x(1 - 3x)$取得最大值$\frac{1}{12}$. 法二：$\because 0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$，$\therefore \frac{1}{3} - x ＞ 0$. $\therefore y = x(1 - 3x) = 3 · x \left( \frac{1}{3} - x \right) \leq 3 · \left( \frac{x + \frac{1}{3} - x}{2} \right)^2 = \frac{1}{12}$， 当且仅当$x = \frac{1}{3} - x$，即$x = \frac{1}{6}$时，等号成立. $\therefore$当$x = \frac{1}{6}$时，$y = x(1 - 3x)$取得最大值$\frac{1}{12}$. ] 母题探究　C [因为$x ＜ 2$，所以$x - 2 ＜ 0$， 则$y = x + \frac{4}{x - 2} = x - 2 + \frac{4}{x - 2} + 2$ $= - \left( 2 - x + \frac{4}{2 - x} \right) + 2 \leq -2\sqrt{(2 - x) · \frac{4}{2 - x}} + 2 = -2$， 当且仅当$2 - x = \frac{4}{2 - x}$，即$x = 0$时，等号成立， 所以函数$y = x + \frac{4}{x - 2} (x ＜ 2)$的最大值是$-2$.]