《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 5. 已知函数$f(x)$对任意的$x$都有$f(x) - 2f(-x) = 1 + 2x$, 求$f(x)$.

答案： 典例讲评　5.解：由题意，在$f(x) - 2f(-x) = 1 + 2x$中，以$-x$代替$x$
可得$f(-x) - 2f(x) = 1 - 2x$，联立$\begin{cases}f(x) - 2f(-x) = 1 + 2x, \\f(-x) - 2f(x) = 1 - 2x\end{cases}$消去$f(-x)$可得$f(x) = \frac{2}{3}x - 1$．

1. 由下表给出函数$y = f(x)$，则$f(f(1))$等于 (B)


A.1
B.2
C.4
D.5

答案： 1.B [由题意可知，$f(1) = 4$，$f(4) = 2$，$\therefore f(f(1)) = f(4) = 2$．故选B.]

2. 已知函数$f(2x + 1) = 6x + 5$，则$f(x)$的解析式是 (A)

A.$f(x) = 3x + 2$
B.$f(x) = 3x + 1$
C.$f(x) = 3x - 1$
D.$f(x) = 3x + 4$

答案： 2.A [法一：令$2x + 1 = t$，则$x = \frac{t - 1}{2}$
所以$f(t) = 6 × \frac{t - 1}{2} + 5 = 3t + 2$，
所以$f(x) = 3x + 2$．
法二：因为$f(2x + 1) = 3(2x + 1) + 2$，
所以$f(x) = 3x + 2$．]

3. (教材P72练习T1改编)李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是 (D)

答案： 3.D [由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意.]

4. 已知函数$F(x) = f(x) + g(x)$, 其中$f(x)$是$x$的正比例函数，$g(x)$是$x$的反比例函数，且$F(\frac{1}{3}) = 16$, $F(1) = 8$，则$F(x)$的解析式为$F(x) = 3x + \frac{5}{x}(x \neq 0)$.

答案： 4.$F(x) = 3x + \frac{5}{x}(x \neq 0)$ [设$f(x) = kx(k \neq 0)$，$g(x) = \frac{m}{x}(m \neq 0$，且$x \neq 0)$，则$F(x) = kx + \frac{m}{x}$．
由$F(\frac{1}{3}) = 16$，$F(1) = 8$，得$\begin{cases}\frac{1}{3}k + 3m = 16, \\k + m = 8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 3, \\m = 5,\end{cases}$
所以$F(x) = 3x + \frac{5}{x}(x \neq 0)$．]