《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 3.判断函数 $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x}$ 的单调性.
[尝试解答]
[母题探究] 把本例的函数改为“$f(x)=2^{-x^2 + 2x}$”，求其单调区间.
反思领悟 函数 $y = a^{f(x)}(a＞0$，且 $a \neq 1)$ 的单调性的处理技巧
(1)指数型函数 $y = a^{f(x)}(a＞0$，且 $a \neq 1)$ 的单调性由两点决定，一是底数 $a＞1$ 还是 $0＜a＜1$；二是 $f(x)$ 的单调性，它由两个函数 $y = a^u$，$u = f(x)$ 复合而成.
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 $y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，通过 $f(u)$ 和 $\varphi(x)$ 的单调性，求得 $y = f(\varphi(x))$ 的单调性.

答案： 3.解：令$u = x^{2} - 2x$，则原函数变为$y = (\frac{1}{3})^{u}$.
∵$u = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1, +\infty)$上
单调递增，$y = (\frac{1}{3})^{u}$在$\mathbf{R}$上单调递减，
∴$f(x) = (\frac{1}{3})^{x^{2} - 2x}$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1, +\infty)$上单调
递减.
母题探究 解：函数$f(x) = 2^{-x^{2} + 2x}$的定义域是$\mathbf{R}$.
令$u = -x^{2} + 2x$，则原函数变为$y = 2^{u}$.
当$x \in (-\infty,1]$时，函数$u = -x^{2} + 2x$单调递增，
又函数$y = 2^{u}$是增函数，所以函数$f(x) = 2^{-x^{2} + 2x}$在$(-\infty,1]$上单调递增.
当$x \in [1, +\infty)$时，函数$u = -x^{2} + 2x$单调递减，又函数$y = 2^{u}$是增
函数，所以函数$f(x) = 2^{-x^{2} + 2x}$在$[1, +\infty)$上单调递减.
综上，函数$f(x) = 2^{-x^{2} + 2x}$的单调递减区间是$[1, +\infty)$，单调递增区
间是$(-\infty,1]$.

[学以致用] 3.(2023·新高考 Ⅰ 卷)设函数 $f(x)=2^{x(x - a)}$ 在区间 $(0,1)$ 单调递减，则 $a$ 的取值范围是 (D)

A.$(-\infty, -2]$
B.$[-2,0)$
C.$(0,2]$
D.$[2, +\infty)$

答案： 3.D [法一(复合函数法)：由题意得$y = x(x - a)$在区间
$(0,1)$上单调递减，所以$x = \frac{a}{2} \geq 1$，解得$a \geq 2$.故选D.
法二(特值法)：取$a = 3$，则$y = x(x - 3) = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$在$(0,1)$
上单调递减，所以$a = 3$符合题意，排除A，B，C，故选D.]

4.求下列函数的单调区间：
(1)$y = a^{-x^2 + 3x + 2}(a＞1)$；
(2)$y = 2^{|x - 1|}$.

答案： 4.解：
(1)令$u = -x^{2} + 3x + 2 = -(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{17}{4}$，易知$u = -x^{2} + 3x + 2$在$(-\infty,\frac{3}{2}]$上单调递增，在$[\frac{3}{2}, +\infty)$上单调递减，
∵当$a ＞ 1$时，$y = a^{u}$在$\mathbf{R}$上单调递增，
∴函数$y = a^{-x^{2} + 3x + 2}(a ＞ 1)$的单调递增区间为$(-\infty,\frac{3}{2}]$，单调递
减区间为$[\frac{3}{2}, +\infty)$.
(2)当$x \in [1, +\infty)$时，函数$y = 2^{x - 1}$，因为$t = x - 1$为增函数，$y = 2^{t}$为增函数，
∴$y = 2^{x - 1}$在$[1, +\infty)$上单调递增；
当$x \in (-\infty,1)$时，函数$y = 2^{1 - x}$，
而$t = 1 - x$为减函数，$y = 2^{t}$为增函数，
∴$y = 2^{1 - x}$在$(-\infty,1)$上单调递减.
故函数$y = 2^{|x - 1|}$的单调递减区间为$(-\infty,1)$，单调递增区间为
$[1, +\infty)$.

1.已知 $0.3^m＞0.3^n$，则 $m$，$n$ 的大小关系为(B)

A.$m＞n$
B.$m＜n$
C.$m = n$
D.不能确定

答案： 1.B [因为函数$y = 0.3^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，且$0.3^{m} ＞ 0.3^{n}$，所以$m ＜ n$.
故选B.]

2.(教材 P119 习题 4.2T6 改编)设 $a = 9^{0.4}$，$b = \left(\frac{1}{3}\right)^{-0.9}$，$c = 0.8^{0.9}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为 (A)

A.$c＜a＜b$
B.$c＜b＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$a＜b＜c$

答案： 2.A [依题意，$a = (3^{2})^{0.4} = 3^{0.8} ＜ 3^{0.9} = (\frac{1}{3})^{-0.9} = b$，
而$a = 9^{0.4} ＞ 9^{0} = 1$，$0.8^{0} ＞ 0.8^{0.9} = c$，
所以$c ＜ a ＜ b$.故选A.]

3.函数 $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 1}$ 的单调递增区间为(A)

A.$(-\infty,0]$
B.$[0, +\infty)$
C.$(-1, +\infty)$
D.$(-\infty, -1)$

答案： 3.A [
∵$f(x) = (\frac{1}{2})^{x^{2} - 1}$，$0 ＜ \frac{1}{2} ＜ 1$，
∴$f(x)$的单调递增区间为$u(x) = x^{2} - 1$的单调递减区间，即$(-\infty,0]$.故选A.]

4.若 $2^{x^2 + 1} \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{x - 2}$，则函数 $y = 2^x$ 的值域是$[\frac{1}{8},2]$.

答案： 4.$[\frac{1}{8},2]$ [由$2^{x^{2} + 1} \leq (\frac{1}{4})^{x - 2} = 2^{-2x + 4}$，得
$x^{2} + 1 \leq 4 - 2x$，解得$-3 \leq x \leq 1$，所以$2^{-3} \leq 2^{x} \leq 2$，
即函数$y = 2^{x}$的值域是$[\frac{1}{8},2]$.]