《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[新知生成]

答案： 且　A∩B　A交B　{x|x∈A,且x∈B}

2. (1)已知集合$A = \{-3, -1, 0, 1\}$，集合$B = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 2, x \in \mathbb{Z}\}$，则$A \cap B =$ (B)

A.$\{-1\}$
B.$\{-1, 0, 1\}$
C.$\{0, 1, 2\}$
D.$\{-1, 0\}$

答案： 2.
(1)B　[
(1)因为A={−3,−1,0,1},B={x|−2＜x＜2,x∈Z}={−1,0,1},因此,A∩B={−1,0,1}.故选B.]

(2)(2023·北京高考)已知集合$M = \{x \mid x + 2 \geq 0\}$，$N = \{x \mid x - 1 ＜ 0\}$，则$M \cap N =$ (A)

A.$\{x \mid -2 \leq x ＜ 1\}$
B.$\{x \mid -2 ＜ x \leq 1\}$
C.$\{x \mid x \geq -2\}$
D.$\{x \mid x ＜ 1\}$

答案： 2.
(2)A　[
(2)由题意,M={x｜x≥−2},N={x｜x＜1},
∴M∩N={x|−2≤x＜1).故选A.]

[学以致用] 2. (1)设集合$A = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{2, 3, 4, 5\}$，则$A \cap B =$ (B)

A.$\{2\}$
B.$\{2, 3\}$
C.$\{3, 4\}$
D.$\{2, 3, 4\}$

答案： 2.
(1)B　[
(1)由题设知A∩B={2,3).故选B.]

(2)【链接教材 P35 复习参考题 1T8】
已知$A = \{(x, y) \mid x + y = 0\}$，$B = \{(x, y) \mid x - y = 0\}$，则$A \cap B =$$\{(0,0)\}$ .

答案： 2.
(2){(0,0)}　[
(2)由$\begin{cases}x+y=0\\x-y=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$，故A∩B={(0,0)}.]

问题4 若$A \subseteq B$，则$A \cap B =$$A$ ；若$A = B$，则$A \cap B = A \cup B$成立吗？反之呢？

答案： 提示:A　成立　成立

[新知生成]
(1)$A \cup B = A \Leftrightarrow B \subseteq A$.
(2)$A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B$.
(3)$(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$，$(A \cap B) \subseteq A$，$(A \cap B) \subseteq B$.
(4)$A \cap B = A \cup B \Leftrightarrow A = B$.

答案： 答题卡作答如下：
(1) 要证明 $A \cup B = A \Leftrightarrow B \subseteq A$：
充分性：假设 $B \subseteq A$，则 $B$ 中的所有元素都属于 $A$。因此，$A \cup B$（即 $A$ 和 $B$ 中所有元素的集合）等于 $A$。
必要性：假设 $A \cup B = A$，则 $B$ 中的所有元素都必须在 $A$ 中，即 $B \subseteq A$。
(2) 要证明 $A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B$：
充分性：假设 $A \subseteq B$，则 $A$ 中的所有元素都属于 $B$。因此，$A \cap B$（即 $A$ 和 $B$ 的交集）等于 $A$。
必要性：假设 $A \cap B = A$，则 $A$ 中的所有元素都必须在 $B$ 中，即 $A \subseteq B$。
(3) 要证明 $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$，$(A \cap B) \subseteq A$，$(A \cap B) \subseteq B$：
$A \cap B$ 表示 $A$ 和 $B$ 的交集，即同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素。
$A \cup B$ 表示 $A$ 和 $B$ 的并集，即属于 $A$ 或 $B$（或两者都属于）的元素。
显然，任何同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素也必然属于 $A \cup B$，因此 $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$。
同理，$A \cap B$ 中的元素也必然属于 $A$ 和 $B$，因此 $(A \cap B) \subseteq A$ 和 $(A \cap B) \subseteq B$。
(4) 要证明 $A \cap B = A \cup B \Leftrightarrow A = B$：
充分性：假设 $A = B$，则 $A \cap B = A = B$ 且 $A \cup B = A = B$，因此 $A \cap B = A \cup B$。
必要性：假设 $A \cap B = A \cup B$，由于 $A \cap B \subseteq A$ 和 $A \cap B \subseteq B$，且 $A \subseteq A \cup B$ 和 $B \subseteq A \cup B$，因此 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$，即 $A = B$。

[典例讲评] 3. 已知集合$A = \{x \mid 2 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{x \mid a ＜ x ＜ 3a(a ＞ 0)\}$.
(1)若$A \cup B = B$，求$a$的取值范围；
(2)若$A \cap B = \varnothing$，求$a$的取值范围；
(3)若$A \cap B = \{x \mid 3 ＜ x ＜ 4\}$，求$a$的值.

答案：
3.解:
(1)因为A∪B=B,所以A⊆B,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 观察数轴可知，$\begin{cases}2\geq a\\4\leq 3a\end{cases}$，
　解得$\frac{4}{3}$≤a≤2,
　所以a的取值范围是$\{a|\frac{4}{3}\leq a\leq 2\}$.
(2)A∩B=∅有两类情况:B在A的左边和B在A的右边，如图.
　　　　　　　　　
　观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a＞0,
　所以a的取值范围是$\{a|0＜a\leq\frac{2}{3}$,或a≥4}.
(3)画出数轴如图，
　　　　　　　　　
　观察图形可知$\begin{cases}a=3\\3a\geq 4\end{cases}$，即a=3.