《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 2. 已知函数$f(x)=\frac{ax + b}{1 + x^{2}}$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，且$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$.
(1)确定函数$f(x)$的解析式；
(2)用定义法证明$f(x)$在$(-1,1)$上单调递增；
(3)解不等式：$f(t - 1)+f(t)＜0$.

答案： 解：
(1)根据题意得$\begin{cases}f(0) = 0, \\f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} \end{cases}$即$\begin{cases} \frac{a × 0 + b}{1 + 0^{2}} = 0, \frac{\frac{a}{2} + b}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{5} \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 1, \\b = 0 \end{cases}$ $\therefore f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}},x \in (-1,1)$.
(2)证明：$\forall x_{1},x_{2} \in (-1,1)$，且$x_{1} ＜ x_{2}$，
$f(x_{1}) - f(x_{2}) = \frac{x_{1}}{1 + x_{1}^{2}} - \frac{x_{2}}{1 + x_{2}^{2}} = \frac{(x_{1} - x_{2})(1 - x_{1}x_{2})}{(1 + x_{1}^{2})(1 + x_{2}^{2})}$
$\because -1 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 1$，
$\therefore x_{1} - x_{2} ＜ 0,1 + x_{1}^{2} ＞ 0,1 + x_{2}^{2} ＞ 0,1 - x_{1}x_{2} ＞ 0$，
$\therefore f(x_{1}) - f(x_{2}) ＜ 0$，即$f(x_{1}) ＜ f(x_{2})$，
$\therefore f(x)$在$(-1,1)$上单调递增.
(3)$f(t - 1) ＜ -f(t) = f(-t)$.
$\because f(x)$在$(-1,1)$上单调递增，
$\therefore \begin{cases} -1 ＜ t - 1 ＜ 1, \\ -1 ＜ -t ＜ 1, \\ t - 1 ＜ -t \end{cases}$
解得$0 ＜ t ＜ \frac{1}{2}$.
$\therefore$不等式$f(t - 1) + f(t) ＜ 0$的解集为$\{ t \mid 0 ＜ t ＜ \frac{1}{2} \}$

[学以致用] 2. (1)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$在$(-\infty,2]$上单调递减，且$f(x + 2)$为偶函数，则$f(-1),f(4),f(\frac{11}{2})$的大小关系为 (A)

A.$f(4)＜f(-1)＜f(\frac{11}{2})$
B.$f(-1)＜f(4)＜f(\frac{11}{2})$
C.$f(\frac{11}{2})＜f(4)＜f(-1)$
D.$f(-1)＜f(\frac{11}{2})＜f(4)$

答案：
(1)A [函数$y = f(x + 2)$为偶函数，则函数$y = f(x + 2)$的图象关于$y$轴对称，函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，则$f(\frac{11}{2}) = f(-\frac{3}{2})$，$f(4) = f(0)$，
$\because f(x)$在$(-\infty,2]$上单调递减，$-\frac{3}{2} ＜ -1 ＜ 0$，
$\therefore f(-\frac{3}{2}) ＞ f(-1) ＞ f(0)$，
即$f(4) ＜ f(-1) ＜ f(\frac{11}{2})$.]

(2)已知函数$f(x)=\frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 1}$，则$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值和最小值之和等于 (C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
(2)C [（2）$f(x) = \frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 2x + 1}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{2x}{x^{2} + 1}$
设$g(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1}$，则函数$g(x)$为奇函数，因此$g(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值和最小值之和为$0$，可得$f(x)$在区间$[-1,1]$上的最大值和最小值之和为$2$.故选C.]

问题1 李明大学毕业后，结合自身专业特点，在自己的家乡搞起了大棚蔬菜种植.
①今年精品胡萝卜的价格为每千克1元，他已售$x$千克的精品胡萝卜，那么他的收入$y$是多少呢？
②若他的胡萝卜种植地正好为一个正方形，边长是$a$，那么他的胡萝卜种植地面积$S$是多少呢？
③若今年设计的胡萝卜精品礼盒是正方体,棱长为$b$，那么礼盒的体积$V$是多少呢？
④明年他想扩建一块面积为$S$的正方形耕地为胡萝卜种植地，那么这个正方形的边长$c$应该是多少呢？
⑤如果他的胡萝卜在“双十一”活动期间网上销量很好，$h$分钟卖了一吨，那么他每分钟的平均销量$W$是多少呢？
(1)观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(2)这类函数解析式的一般形式应如何表示？

答案： 提示：
(1)这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
(2)这类函数解析式的一般形式可用$y = x^{\alpha}$表示．