《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 某研究小组在一项试验中获得一组关于 $y, t$ 的数据，将其整理得到如图所示的散点图.
下列函数中，最能近似刻画 $y$ 与 $t$ 之间关系的
是 (D)


A.$y = 2^t$
B.$y = 2t^2$
C.$y = t^3$
D.$y = \log_2 t$

答案： 1.D [由题图知，该函数可能是$y = \log_{2}t$. 故选D.]

2. (教材 P150 练习 T1 改编)某种产品今年的产量是 $a$，如果保持 5% 的年增长率，那么经过 $x$ 年 ($x \in \mathrm{N}^*$)，该产品的产量 $y$ 满足 (D)

A.$y = a(1 + 5\%)x$
B.$y = a + 5\%$
C.$y = a(1 + 5\%)^{x - 1}$
D.$y = a(1 + 5\%)^x$

答案： 2.D [经过1年，$y = a(1 + 5\%)$；经过2年，$y = a(1 + 5\%)^{2}$；……经过$x$年，$y = a(1 + 5\%)^{x}$.]

3. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度(单位:m/s)可以表示为函数 $v = 10 \log_2 \frac{O}{10}$，其中 $O$ 表示燕子的耗氧量.当一只成年燕子的飞行速度 $v = 20$ m/s 时，它的耗氧量为 (C)

A.30
B.60
C.40
D.80

答案： 3.C [因为$v = 10\log_{2}\frac{O}{O_{0}}$，将$v = 20\mathrm{m/s}$代入，
　则$20 = 10\log_{2}\frac{O}{O_{0}}$，则$2=\log_{2}\frac{O}{O_{0}}$，所以$\frac{O}{O_{0}}=2^{2}$，
　所以$O = 2^{2}× O_{0}=40$，故选C.]

4. 现测得 $(x, y)$ 的两组对应值分别为 (1, 2)，(2, 5)，现有两个待选模型，甲: $y = x^2 + 1$，乙: $y = 3x - 1$，若又测得 $(x, y)$ 的一组对应值为 (3, 10.2)，则应选用甲 作为函数模型.

答案： 4.甲 [将$x = 3$分别代入$y = x^{2}+1$及$y = 3x - 1$中，得$y = 3^{2}+1 = 10$，
　$y = 3×3 - 1 = 8$. 由于10更接近10.2，所以选用甲模型.]

【例1】 计算下列各式的值.
(1)$\pi^{0}-[(-2)^{2}]^{\frac{1}{2}} + (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}$;

答案： 例1 解：
(1)原式$=1-(2^{2})^{\frac{1}{2}}+(\frac{3}{2})^{2}=1-2+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$．

(2)$2 \lg 5 + \lg 4 - \mathrm{e}^{\ln 2} - \log_{3}4 × \log_{4}3$.

答案：
(2)原式$=\lg25+\lg4 - 2-\log_{3}4×\frac{1}{\log_{3}4}=\lg100 - 2 - 1=-1$．