《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

3. 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时$x$的值.
(1)$y = -4\sin x + 5$；
(2)$y = \cos^{2}x - \sin x + 1$.

答案： 典例讲评 3.解：
(1)函数$y=-4\sin x+5$取最大值和最小值时，$y=\sin x$正好取最小值和最大值，
当$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$y_{\max}=9$；
当$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$y_{\min}=1$.
(2)令$t=\sin x$，则$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-t^{2}$，
所以$y=-t^{2}-t+2=-\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}$，$t\in[-1,1]$.
当$t=-\frac{1}{2}$，即$\sin x=-\frac{1}{2}$，$x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$或$x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$y_{\max}=\frac{9}{4}$；
当$t=1$，即$\sin x=1$，$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$y_{\min}=0$.

发现规律 三角函数最值问题的 3 种常见类型及求解方法
(1) 形如$y = a\sin x$(或$y = a\cos x$)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对$a$分正负进行讨论.
(2) 形如$y = A\sin(\omega x + \varphi)+b$(或$y = A\cos(\omega x + \varphi)+b$)型，可由定义域求得$\omega x+\varphi$的范围，然后求得$\sin(\omega x+\varphi)$（或$\cos(\omega x+\varphi)$）的范围，最后求得最值.
(3) 形如$y = a\sin^{2}x + b\sin x + c(a\neq0)$型，可利用换元思想，设$t =$$\sin x$，转化为二次函数$y =$$at^{2}+bt+c$求最值，$t$的范围需要根据定义域来确定.

答案： 发现规律
(1)有界性
(2)$\omega x+\varphi$ $\sin(\omega x+\varphi)$（或$\cos(\omega x+\varphi)$）
(3)$\sin x$ $at^{2}+bt+c$ 定义域

[学以致用] 【链接教材 P207 练习 T2、P213 习题 5.4T4、P214 习题 5.4T10】
3. (1) 函数$y = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right),x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$的值域是 (C)

A.$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
B.$\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$
C.$\left[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
D.$\left[-1,\frac{1}{2}\right]$

答案： 学以致用 3.
(1)C $\left[(1)\right.$当$0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$时，$\frac{\pi}{6}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{7\pi}{6}$，
$\therefore-1\leqslant\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$.故选C.

(2) 函数$y = \sin^{2}x - 4\sin x$的最大值为5.

答案：
(2)5 $\left[(2)\right.$ $y=\sin^{2}x-4\sin x=(\sin x-2)^{2}-4$.
$\because-1\leqslant\sin x\leqslant1$，
$\therefore$当$\sin x=-1$时，$y$取到最大值5.

1. (教材 P207 练习 T3 改编)下列命题中正确的是 (D)

A.$y = \cos x$在第一象限和第四象限内单调递减
B.$y = \sin x$在第一象限和第三象限内单调递增
C.$y = \cos x$在$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上单调递减
D.$y = \sin x$在$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增

答案： [应用迁移] 1.D $\left[对于y=\cos x\right.$，该函数的单调递减区间为$[2k\pi,\pi+2k\pi]$，$k\in\mathbf{Z}$，
故A错误，C错误；对于$y=\sin x$，该函数的单调递增区间为$\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right]$，$k\in\mathbf{Z}$，故B错误，D正确.]

2. 函数$y = 2 - \sin x$的最大值及取最大值时$x$的值为 (C)

A.$y_{\max}=3,x = \frac{\pi}{2}$
B.$y_{\max}=1,x = \frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$
C.$y_{\max}=3,x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$
D.$y_{\max}=3,x = \frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$

答案： 2.C $\left[∵y=2-\sin x\right.$，$\therefore$当$\sin x=-1$时，$y_{\max}=3$，此时$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$.]

3. $\sin\frac{2\pi}{7}$＞$\sin\left(-\frac{15\pi}{8}\right)$(填“$＞$”或“$＜$”).

答案： 3.＞ $\left[\sin\left(-\frac{15\pi}{8}\right)=\sin\left(-2\pi+\frac{\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{8}$，
因为$0＜\frac{\pi}{8}＜\frac{2\pi}{7}＜\frac{\pi}{2}$，$y=\sin x$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$上单调递增，所以$\sin\frac{\pi}{8}＜\sin\frac{2\pi}{7}$，即$\sin\frac{2\pi}{7}＞\sin\left(-\frac{15\pi}{8}\right)$.]

4. 函数$f(x)=\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$的单调递减区间是$\left[\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$

答案： 4.$\left[\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$ 令$2k\pi\leqslant2x-\frac{\pi}{4}\leqslant\pi+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
得$\frac{\pi}{8}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{8}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
即$f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$的单调递减区间是$\left[\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$.