《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题3 你能借助二次函数$y = x^{2}-x - 6$的图象写出$x^{2}-x - 6＜0$的解集吗？从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故$x^{2}-x - 6 ＜ 0$的解集为$\{x\mid - 2 ＜ x ＜ 3\}$

答案： 问题3　提示:从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故$x^{2}-x - 6 ＜ 0$的解集为$\{x\mid - 2 ＜ x ＜ 3\}$.

1. 二次函数的零点
一般地，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，我们把使$ax^{2}+bx + c = 0$的实数$x$叫做二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的零点.

答案： 新知生成　1.$ax^{2}+bx + c = 0$

2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与$x$轴交点的横坐标.
(2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根.

答案： 2.$\{x\mid x ＜ x_{1}$,或$x ＞ x_{2}\}$　$\{x\mid x_{1} ＜ x ＜ x_{2}\}$　∅　∅

1.(源自苏教版教材)解下列不等式：
(1)$x^{2}-7x + 12＞0$；
(2)$-x^{2}-2x + 3 \geq 0$；
(3)$x^{2}-2x + 1＜0$；
(4)$x^{2}-2x + 2＞0$.

答案：
1.解:
(1)方程$x^{2}-7x + 12 = 0$的根为$x_{1}=3,x_{2}=4$.
　根据$y = x^{2}-7x + 12$的图象(图①),可得原不等式的解集为$\{x\mid x ＜ 3$,或$x ＞ 4\}$.
(2)不等式两边同乘以-1,得$x^{2}+2x - 3\leqslant0$.
　方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的根为$x_{1}=-3,x_{2}=1$.
　根据$y = x^{2}+2x - 3$的图象(图②),可得原不等式的解集为$\{x\mid - 3\leqslant x\leqslant1\}$.
　　　
(3)方程$x^{2}-2x + 1 = 0$有两个相同的根$x_{1}=x_{2}=1$.
　根据$y = x^{2}-2x + 1$的图象(图③),可得原不等式的解集为∅.
(4)因为$\Delta ＜ 0$，所以方程$x^{2}-2x + 2 = 0$无实数解.
　根据$y = x^{2}-2x + 2$的图象(图④),可得原不等式的解集为$\mathbf{R}$.

(1)化标准. 通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式. 对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根. 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图. 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集. 根据图象写出不等式的解集.

答案： 发现规律　
(1)化标准　
(2)判别式　
(3)求实根　
(4)画草图　
(5)写解集

1. 解下列不等式：
(1)$x^{2}-5x - 6＞0$；
(2)$(2 - x)(x + 3)＜0$.解:(1)方程$x^{2}-5x - 6 = 0$的两根为$x_{1}=-1,x_{2}=6$.结合二次函数$y = x^{2}-5x - 6$的图象(图略)知，原不等式的解集为$\{x\mid x ＜ - 1$,或$x ＞ 6\}$.(2)原不等式可化为$(x - 2)(x + 3) ＞ 0$.方程$(x - 2)(x + 3) = 0$的两根为$x_{1}=2,x_{2}=-3$.结合二次函数$y = (x - 2)(x + 3)$的图象(图略)知，原不等式的解集为$\{x\mid x ＜ - 3$,或$x ＞ 2\}$.

答案： 学以致用　1.解:
(1)方程$x^{2}-5x - 6 = 0$的两根为$x_{1}=-1,x_{2}=6$.结合二次函数$y = x^{2}-5x - 6$的图象(图略)知，原不等式的解集为$\{x\mid x ＜ - 1$,或$x ＞ 6\}$.
(2)原不等式可化为$(x - 2)(x + 3) ＞ 0$.
　方程$(x - 2)(x + 3) = 0$的两根为$x_{1}=2,x_{2}=-3$.
　结合二次函数$y = (x - 2)(x + 3)$的图象(图略)知，原不等式的解集为$\{x\mid x ＜ - 3$,或$x ＞ 2\}$.