《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题 1 观察正弦函数$y = \sin x,x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$的图象，当$x$由$-\frac{\pi}{2}$增大到$\frac{3\pi}{2}$时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？

答案： 问题1 提示：当x由$-\frac{\pi}{2}$增大到$\frac{\pi}{2}$时，曲线逐渐上升，$\sin x$的值由-1增大到1. 当x由$\frac{\pi}{2}$增大到$\frac{3\pi}{2}$时，曲线逐渐下降，$\sin x$的值由1减小到-1.

问题 2 观察余弦函数$y = \cos x,x\in[-\pi,\pi]$的图象，当$x$由$-\pi$增大到$\pi$时，曲线是如何变化的？相应函数值又是怎样变化的？

答案： 问题2 提示：当x由$-\pi$增大到0时，曲线逐渐上升，$\cos x$的值由-1增大到1. 当x由0增大到$\pi$时，曲线逐渐下降，$\cos x$的值由1减小到-1.

[新知生成] 

答案： 新知生成$[-1,1]$ $[-1,1]$ $\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right]$ $\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$ $\left[-\pi+2k\pi,2k\pi\right]$ $\left[2k\pi,\pi+2k\pi\right]$ $\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

1. 求函数$y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$的单调区间.
[尝试解答]$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right]$$(k\in\mathbf{Z})$$\left[2k\pi+\frac{5\pi}{6},2k\pi+\frac{11\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$
[母题探究]
1. 求函数$f(x)=2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right),x\in[0,2\pi]$的单调区间.
[母题探究]
2. 求函数$y = \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$的单调递增区间.

答案： 典例讲评 1.解：令$z=x-\frac{\pi}{3}$，则$y=2\sin z$.
$\because z=x-\frac{\pi}{3}$是增函数，
$\therefore y=2\sin z$单调递增时，
函数$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$也单调递增.
由$z\in\left[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right](k\in\mathbf{Z})$，
得$x-\frac{\pi}{3}\in\left[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right](k\in\mathbf{Z})$，
即$x\in\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$，
故函数$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$的单调递增区间为$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right]$
$(k\in\mathbf{Z})$.
同理可求函数$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$的单调递减区间为$\left[2k\pi+\frac{5\pi}{6},2k\pi+\frac{11\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$.
母题探究 1.解：由例题知$f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$的单调递增区间为
$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$.
又$\because x\in[0,2\pi]$，$\therefore0\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{6}$或$\frac{11\pi}{6}\leqslant x\leqslant2\pi$，
$\therefore$函数$f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$，$x\in[0,2\pi]$的单调递增区间为
$\left[0,\frac{5\pi}{6}\right]$，$\left[\frac{11\pi}{6},2\pi\right]$，
同理函数$f(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$，$x\in[0,2\pi]$的单调递减区间
为$\left[\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right]$.
2.解：$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$，令$z=x-\frac{\pi}{3}$，而$y=-\sin z$
的单调递增区间是$\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right],k\in\mathbf{Z}$，
$\therefore$令$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant x-\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
得$\frac{5\pi}{6}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
$\therefore$函数$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$的单调递增区间为$\left[\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi\right]$，
$k\in\mathbf{Z}$.