《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【典例】【链接教材P86 习题3.2T8】
探究函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a＞0)$的性质，并画出它的简图（单调性需证明，其余性质列出即可).
[尝试解答]
典例　解:(1)定义域：$\{x|x\neq0\}$；
(2)值域：$(-\infty,-2\sqrt{a}]\cup[2\sqrt{a},+\infty)$；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a＞0)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，在$[-\sqrt{a},0)$和$(0,\sqrt{a}]$上单调递减，证明如下:
$\forall x_{1},x_{2}\in(0,\sqrt{a}]$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}+\frac{a}{x_{1}} - x_{2}-\frac{a}{x_{2}}=(x_{1} - x_{2})·(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$。
因为$0＜x_{1}＜x_{2}\leq\sqrt{a}$，
所以$x_{1}-x_{2}＜0$，$0＜x_{1}x_{2}＜a$，
所以$\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞1$，
所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＜0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＞0$，
即$f(x_{1})＞f(x_{2})$。
所以$f(x)$在$(0,\sqrt{a}]$上单调递减。
$\forall x_{1},x_{2}\in(\sqrt{a},+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=(x_{1} - x_{2})·(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$。
因为$x_{1}-x_{2}＜0$，$x_{1}x_{2}＞a$，
所以$\frac{a}{x_{1}x_{2}}＜1$，
所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，
所以$f(x_{1})＜f(x_{2})$。
所以$f(x)$在$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增。
同理，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$上单调递增，在$[-\sqrt{a},0)$上单调递减。
其图象如图所示.
[母题探究] 当$a＜0$时，探究该函数的性质，并画出函数的简图（单调性需证明，其余性质列出即可).
母题探究　解:(1)定义域：$\{x|x\neq0\}$；
(2)值域：$\mathbf{R}$；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$上单调递增，证明如下:
$\forall x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}+\frac{a}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{a}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$，因为$0＜x_{1}＜x_{2}$，
所以$x_{1}-x_{2}＜0$，
又$a＜0$，所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，
即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，
所以函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增；
同理可知，函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递增。
其图象如图所示.

答案：
典例　解:
(1)定义域：$\{x|x\neq0\}$；
(2)值域：$(-\infty,-2\sqrt{a}]\cup[2\sqrt{a},+\infty)$；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a＞0)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，在$[-\sqrt{a},0)$和$(0,\sqrt{a}]$上单调递减，证明如下:
$\forall x_{1},x_{2}\in(0,\sqrt{a}]$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}+\frac{a}{x_{1}} - x_{2}-\frac{a}{x_{2}}=(x_{1} - x_{2})·(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$。
因为$0＜x_{1}＜x_{2}\leq\sqrt{a}$，
所以$x_{1}-x_{2}＜0$，$0＜x_{1}x_{2}＜a$，
所以$\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞1$，
所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＜0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＞0$，
即$f(x_{1})＞f(x_{2})$。
所以$f(x)$在$(0,\sqrt{a}]$上单调递减。
$\forall x_{1},x_{2}\in(\sqrt{a},+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=(x_{1} - x_{2})·(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$。
因为$x_{1}-x_{2}＜0$，$x_{1}x_{2}＞a$，
所以$\frac{a}{x_{1}x_{2}}＜1$，
所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，
所以$f(x_{1})＜f(x_{2})$。
所以$f(x)$在$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增。
同理，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$上单调递增，在$[-\sqrt{a},0)$上单调递减。
其图象如图所示.
母题探究　解:
(1)定义域：$\{x|x\neq0\}$；
(2)值域：$\mathbf{R}$；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$上单调递增，证明如下:
$\forall x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}+\frac{a}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{a}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1 - \frac{a}{x_{1}x_{2}})$，因为$0＜x_{1}＜x_{2}$，
所以$x_{1}-x_{2}＜0$，
又$a＜0$，所以$1-\frac{a}{x_{1}x_{2}}＞0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，
即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，
所以函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增；
同理可知，函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递增。
其图象如图所示.

已知函数$f(x)=x+\frac{k}{x},x\in(0,+\infty)$有如下性质：如果常数$k＞0$，那么该函数在$(0,\sqrt{k}]$上单调递减，在$[\sqrt{k},+\infty)$上单调递增.
利用上述性质或用其他方法解决下列问题：
(1)若$a＞0$，函数$y=x+\frac{a}{x}(x＞0)$的值域为$[6,+\infty),$求实数$a$的值；
(2)若关于$x$的方程$4x^{2}-2(b+6)x-b-3=0$在$x\in[0,1]$上有解，求实数$b$的取值范围.
解:(1)由上述性质及题设可知，
当$x = \sqrt{a}$时，$y_{\min}=\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{a}}=2\sqrt{a}=6$，
解得实数$a$的值为$9$。
(2)由题得$b=\frac{4x^{2}-12x - 3}{2x + 1}$，
令$t = 2x + 1$，$t\in[1,3]$，
所以$x=\frac{t - 1}{2}$，
所以$b=t+\frac{4}{t}-8$，在$t\in[1,3]$上有解，
由上述性质可知$b=t+\frac{4}{t}-8$在$t\in[1,2]$上单调递减，在$t\in[2,3]$上单调递增，
所以$t = 2$时，$b_{\min}=-4$，
当$t = 1$时，$b=-3$，当$t = 3$时，$b=-\frac{11}{3}$，
所以$b_{\max}=-3$。
故实数$b$的取值范围为$[-4,-3]$。

答案： 解:
(1)由上述性质及题设可知，
当$x = \sqrt{a}$时，$y_{\min}=\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{a}}=2\sqrt{a}=6$，
解得实数$a$的值为$9$。
(2)由题得$b=\frac{4x^{2}-12x - 3}{2x + 1}$，
令$t = 2x + 1$，$t\in[1,3]$，
所以$x=\frac{t - 1}{2}$，
所以$b=t+\frac{4}{t}-8$，在$t\in[1,3]$上有解，
由上述性质可知$b=t+\frac{4}{t}-8$在$t\in[1,2]$上单调递减，在$t\in[2,3]$上单调递增，
所以$t = 2$时，$b_{\min}=-4$，
当$t = 1$时，$b=-3$，当$t = 3$时，$b=-\frac{11}{3}$，
所以$b_{\max}=-3$。
故实数$b$的取值范围为$[-4,-3]$。