《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 化简：
(1)$\sqrt{(a-b)^{2}}(a＞b)$；
(2)$(\sqrt{a-1})^{2}+\sqrt{(1-a)^{2}}+\sqrt[3]{(1-a)^{3}}$.
解：(1)$\because a ＞ b$，$\therefore \sqrt{(a - b)^{2}} = |a - b| = a - b$.
(2)由题意知$a - 1 \geq 0$，即$a \geq 1$. 原式$=a - 1 + |1 - a| + 1 - a = a - 1 + a - 1 + 1 - a = a - 1$.

答案： 学以致用 1.解：
(1)$\because a ＞ b$，$\therefore \sqrt{(a - b)^{2}} = |a - b| = a - b$.
(2)由题意知$a - 1 \geq 0$，即$a \geq 1$. 原式$=a - 1 + |1 - a| + 1 - a = a - 1 + a - 1 + 1 - a = a - 1$.

问题3 (1)观察下列各式，你能得出什么结论？
①$\sqrt{2^{4}}=\sqrt{(2^{2})^{2}}=2^{2}=2^{\frac{4}{2}}$；
②$\sqrt[3]{4^{12}}=\sqrt[3]{(4^{4})^{3}}=4^{4}=4^{\frac{12}{3}}$.
(2)类比(1)的规律，$\sqrt[5]{2^{3}},\sqrt[4]{3^{5}}$能否表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示：(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. (2)能.$\sqrt[3]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{3}}$，$\sqrt[3]{3^{5}} = 3^{\frac{5}{3}}$.

答案： 问题3 提示：
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)能.$\sqrt[3]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{3}}$，$\sqrt[3]{3^{5}} = 3^{\frac{5}{3}}$.

[新知生成]
分数指数幂的意义

答案： 新知生成 $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ $0$没有

[典例讲评] 2. 用分数指数幂表示下列各式：
(1)$\sqrt{a}(a＞0)$；(2)$\sqrt[3]{x^{2}}$；
(3)$\frac{1}{\sqrt[3]{a}}(a＞0)$；(4)$\sqrt[4]{x^{4}y^{3}}(y＞0)$.

答案： 典例讲评 2.解：
(1)$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.
(2)$\sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac{2}{3}}$.
(3)$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}}$.
(4)$\sqrt{x^{3}y} = x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}$.

发现规律 根式与分数指数幂互化的规律
根指数$\xrightarrow{化为}$分数指数的分母；
被开方数(式)的指数$\xrightarrow{化为}$分数指数的分子.

答案： 发现规律大分母 分子

2. 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
(1)$(a-b)^{-\frac{3}{4}}(a＞b)$；
(2)$\sqrt[3]{(x-1)^{5}}$；
(3)$\frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}}(a＞0)$；
(4)$(a-b)^{\frac{3}{7}}$.$(a - b)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(a - b)^{3}}}$$\sqrt[5]{(x - 1)^{8}} = (x - 1)^{\frac{8}{5}}$$\frac{1}{\sqrt[3]{a^{4}}} = a^{-\frac{4}{3}}$$(a - b)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a - b)^{2}}$

答案： 学以致用 2.解：
(1)$(a - b)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(a - b)^{3}}}$.
(2)$\sqrt[5]{(x - 1)^{8}} = (x - 1)^{\frac{8}{5}}$.
(3)$\frac{1}{\sqrt[3]{a^{4}}} = a^{-\frac{4}{3}}$.
(4)$(a - b)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(a - b)^{2}}$.