《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 2. 设偶函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，当$x \in [0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增，则$f(-2)$，$f(\pi)$，$f(-3)$的大小关系是(A)
A.$f(\pi)＞f(-3)＞f(-2)$
B.$f(\pi)＞f(-2)＞f(-3)$
C.$f(-2)＞f(-3)＞f(\pi)$
D.$f(-3)＞f(-2)＞f(\pi)$
[尝试解答]
由偶函数与单调性的关系知，当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增，则$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)$单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，$\because|-2|＜|-3|＜\pi$，$\therefore f(\pi)＞f(-3)＞f(-2)$，故选A.
[母题探究] (1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则$f(-2)$，$f(\pi)$，$f(-3)$的大小关系如何？
因为$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，所以$f(2)＞f(3)＞f(\pi)$.又因为$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$f(-2)=f(2)$，$f(-3)=f(3)$，从而有$f(-2)＞f(-3)＞f(\pi)$.
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小.
因为$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数，
　因为$-3＜-2＜\pi$，所以$f(-3)＜f(-2)＜f(\pi)$.

答案： 典例讲评　2.A　[由偶函数与单调性的关系知，当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增，则$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)$单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，$\because|-2|＜|-3|＜\pi$，$\therefore f(\pi)＞f(-3)＞f(-2)$，故选A.]
母题探究　解：
(1)因为$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，所以$f(2)＞f(3)＞f(\pi)$.又因为$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$f(-2)=f(2)$，$f(-3)=f(3)$，从而有$f(-2)＞f(-3)＞f(\pi)$.
(2)因为$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数，
　因为$-3＜-2＜\pi$，所以$f(-3)＜f(-2)＜f(\pi)$.

[学以致用] 2. 函数$y=f(x)$在$[0,2]$上单调递增，且函数$f(x+2)$是偶函数，则下列结论成立的是(B)

A.$f(1)＜f(\frac{5}{2})＜f(\frac{7}{2})$
B.$f(\frac{7}{2})＜f(1)＜f(\frac{5}{2})$
C.$f(\frac{7}{2})＜f(\frac{5}{2})＜f(1)$
D.$f(\frac{5}{2})＜f(1)＜f(\frac{7}{2})$

答案： 学以致用　2.B　[$\because$函数$f(x + 2)$是偶函数，
　$\therefore$函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，
　$\therefore f(\frac{5}{2})=f(\frac{3}{2})$，$f(\frac{7}{2})=f(\frac{1}{2})$，
　又$f(x)$在$[0,2]$上单调递增，
　$\therefore f(\frac{1}{2})＜f(1)＜f(\frac{3}{2})$，
　即$f(\frac{7}{2})＜f(1)＜f(\frac{5}{2})$. 故选B.]

[典例讲评] 3. 已知定义在$[-2,2]$上的函数$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，且$f(1-m)＜f(m)$.
(1)若$f(x)$是奇函数，求$m$的取值范围；
(2)若$f(x)$是偶函数，求$m$的取值范围.

答案： 典例讲评　3.解：
(1)若$f(x)$是奇函数，则$f(x)$在$[-2,2]$上单调递减，由$f(1 - m)＜f(m)$得$\begin{cases}1 - m＞m\\-2\leqslant1 - m\leqslant2\\-2\leqslant m\leqslant2\end{cases}$
解得$m\in[-1,\frac{1}{2})$，故$m$的取值范围为$[-1,\frac{1}{2})$.
(2)若$f(x)$是偶函数，因为$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，故$f(x)$在$[-2,0]$上单调递增，
　由$f(1 - m)＜f(m)$得$f(|1 - m|)＜f(|m|)$，
　故$\begin{cases}|1 - m|＞|m|\\-2\leqslant1 - m\leqslant2\\-2\leqslant m\leqslant2\end{cases}$解得$m\in[-1,\frac{1}{2})$，
　故$m$的取值范围为$[-1,\frac{1}{2})$.

[学以致用] 3. (1)已知偶函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，$f(2)=0$，若$f(x-1)＞0$，则$x$的取值范围是$(-1,3)$.
(2)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，$f(-5)=0$，则不等式$xf(x)＞0$的解集是$(-5,0)\cup(0,5)$.

答案：
学以致用　3.
(1)$(-1,3)$　　
(2)$(-5,0)\cup(0,5)$ [
(1)$\because f(x)$为偶函数，
　$\therefore f(x - 1)=f(|x - 1|)$，
　又$f(2)=0$，$f(x - 1)＞0$，
　$\therefore f(|x - 1|)＞f(2)$.
　$\because|x - 1|\in[0,+\infty)$，$2\in[0,+\infty)$，且$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，
　$\therefore|x - 1|＜2$，即$-2＜x - 1＜2$，
　$\therefore x$的取值范围为$(-1,3)$.
(2)依题意，函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，$f(-5)=0$，由此画出$f(x)$的大致图象如图所示，由图可知，$xf(x)＞0$的解集是$(-5,0)\cup(0,5)$.