《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题 1 观察下面三个函数的图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的? 这反映了相应函数值的哪些变化规律?

答案： 提示:函数y=x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随着自变量的增大而增大;函数y=-x+1的图象从左向右看是下降的，相应函数值随着自变量的增大而减小;函数$y=x^{2}$的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，在y轴右侧部分从左到右是上升的，相应函数值随着自变量的增大先减小后增大.

问题 2 反映在数量关系上，如何理解图象是上升的? 针对函数$y = x$的图象的特征，你能用数学符号语言刻画吗?提示:当自变量x的值增大时，对应的函数值y随之增大，任意取$x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，当$x_{1}＜x_{2}$时，都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$.

答案： 提示:当自变量x的值增大时，对应的函数值y随之增大，任意取$x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，当$x_{1}＜x_{2}$时，都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$.

[新知生成]
函数的单调性
(1)一般地,设函数$f(x)$的定义域为$D$,区间$I \subseteq D$:如果$\forall x_{1},x_{2} \in I$,当$x_{1}＜x_{2}$时，都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$,那么就称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增.
特别地,当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.
如果$\forall x_{1},x_{2} \in I$,当$x_{1}＜x_{2}$时，都有$f(x_{1})＞f(x_{2})$,那么就称函数$f(x)$在区间$I$上单调递减.
特别地,当函数$f(x)$在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.
(2)函数的单调区间:如果函数$y = f(x)$在区间$I$上单调递增或单调递减,那么就说函数$y = f(x)$在这一区间具有(严格的)单调性,区间$I$叫做$y = f(x)$的单调区间.

答案：
(1)增函数　减函数　
(2)单调区间

[典例讲评] 1. 画出函数$y = -x^{2} + 2|x| + 3$的图象，并指出函数的单调区间.
[尝试解答]
[母题探究] 将本例函数换为“$f(x)=x^{2}-4|x| + 3,x \in \mathbf{R}$”,画出$f(x)$的图象并根据图象写出它的单调区间.

答案：
1.解：$y=-x^{2}+2|x|+3=\begin{cases}-(x - 1)^{2}+4,x\geq0\\-(x + 1)^{2}+4,x＜0\end{cases}$，函数图象如图所示.
函数在$(-\infty,-1],[0,1)$上单调递增，函数在$[-1,0),[1,+\infty)$上单调递减，所以函数的单调递增区间是$(-\infty,-1]$和$[0,1)$，单调递减区间是$[-1,0)$和$[1,+\infty)$.

母题探究　解：$f(x)=x^{2}-4|x|+3=\begin{cases}x^{2}-4x + 3,x\geq0\\x^{2}+4x + 3,x＜0\end{cases}$，函数图象如图所示
由图象可知，函数$f(x)$的单调递增区间为$[-2,0),[2,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,-2],[0,2)$.

1. 画出函数$y = |x|(x - 2)$的图象，并指出函数的单调区间.

答案：
1.解：$y=|x|(x - 2)=\begin{cases}x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1,x\geq0\\-x^{2}+2x=-(x - 1)^{2}+1,x＜0\end{cases}$
函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为$(-\infty,0]$和$[1,+\infty)$，单调递减区间为$(0,1)$.