《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 用列举法表示下列集合：
(1)满足 $-2 \leq x \leq 2$ 且 $x \in \mathbf{Z}$ 的元素组成的集合 $A$；
(2)方程 $(x - 2)^2(x - 3) = 0$ 的根组成的集合 $M$；
(3)方程组$\begin{cases}2x + y = 8, \\x - y = 1\end{cases}$的解组成的集合 $B$；
(4)15 的正约数组成的集合 $N$.

答案： 1.解：
(1)因为−2⩽x⩽2,x∈Z，
所以x=−2,−1,0,1,2，
所以A={−2,−1,0,1,2}.
(2)由(x−2)²(x−3)=0得x=2或x=3，
所以M={2,3}.
(3)解方程组$\begin{cases}2x+y=8,\\x−y=1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$
所以B={(3,2)}.
(4)因为15的正约数有1,3,5,15，
所以N={1,3,5,15}.

问题2 能否用列举法表示由“不等式 $x - 1 ＞ 3$ 的解”组成的集合，为什么？
提示：不能.不等式x−1＞3的解是x＞4，因为满足x＞4的实数有无数个，且无规律可循，所以x−1＞3的解集无法用列举法表示.

答案： 提示：不能.不等式x−1＞3的解是x＞4，因为满足x＞4的实数有无数个，且无规律可循，所以x−1＞3的解集无法用列举法表示.

问题3 偶数有什么特征，偶数集如何表示？
提示：偶数的特征：x=2k,k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}.

答案： 提示：偶数的特征：x=2k,k∈Z，偶数集可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}.

[新知生成]
一般地，设 $A$ 是一个集合，我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P(x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.

答案： {x∈A|P(x)}

2. 用描述法表示下列集合：
(1)方程 $-2x^2 + x = 0$ 的解组成的集合；
(2)大于 2 小于 7 的整数；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 $D$.

答案： 2.解：
(1)方程−2x²+x=0的解组成的集合可表示为{x|−2x²+x=0}.
(2)用描述法表示为{x∈Z|2＜x＜7}.
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0,y＞0，故第二象限内的点的集合为D={(x,y)|x＜0,y＞0}.

2. 下列三个集合：
$A = \{x \mid y = x^2 + 1\}, B = \{y \mid y = x^2 + 1\},$
$C = \{(x, y) \mid y = x^2 + 1\}.$
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？

答案： 2.解：
(1)不是.
(2)集合A={x|y=x²+1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y=x²+1}=R，
即A=R，可以认为集合A表示函数y=x²+1中自变量x的取值组成的集合；
集合B={y|y=x²+1}的代表元素是y，满足条件y=x²+1的y取值范围是y⩾1，
所以B={y|y⩾1}，
可以认为集合B表示函数y=x²+1中因变量y的取值组成的集合；
集合C={(x,y)|y=x²+1}的代表元素是(x,y)，是满足y=x²+1的数对，
可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x²+1的点(x,y)构成的集合.