《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

3. 已知集合 $A = \{x \mid ax^2 + 2x + 1 = 0, a \in \mathbf{R}\}$，若 $A$ 中只有一个元素，求 $a$ 的值.
[尝试解答]
解：当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时$x=−\frac{1}{2}，$符合题意；
[母题探究] 在本例条件下，若 $A$ 中至多有一个元素，求 $a$ 的取值范围.

答案： 3.解：当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时$x=−\frac{1}{2}，$符合题意；
当a≠0时，原方程ax²+2x+1=0为一元二次方程，
故当Δ=4−4a=0，即a=1时，原方程的根为x=−1，符合题意.
故当a=0或a=1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素.
母题探究 解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时，由例题可知，a=0或a=1.
当A中没有元素时，Δ=4−4a＜0，且a≠0，即a＞1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a=0或a⩾1}.

3. 已知集合 $A = \{x \in \mathbf{R} \mid mx^2 - 2x + 3 = 0, m \in \mathbf{R}\}$，若 $A$ 中元素至少有一个，求 $m$ 的取值范围.

答案： 3.解：①当m=0时，原方程为−2x+3=0，解得$x=\frac{3}{2}，$符合题意.
②当m≠0时，方程mx²−2x+3=0为一元二次方程，由Δ=4−12m⩾0，得$m⩽\frac{1}{3}，$
即当$m⩽\frac{1}{3}$且m≠0时，方程mx²−2x+3=0至少有一个实数根，符合题意.
由①②知，m的取值范围为$m⩽\frac{1}{3}.$

1. 集合$\{x \in \mathbf{N}^* \mid x - 3 ＜ 2\}$用列举法可表示为 (B)

A.$\{0, 1, 2, 3, 4\}$
B.$\{1, 2, 3, 4\}$
C.$\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
D.$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

答案： 1.B [由题意可得x＜5,x∈N*，
∴x=1,2,3,4，即用列举法可表示为{1,2,3,4}.故选B.]

2. 若 $P = \{(1, 1), (1, 2)\}$，则集合 $P$ 中元素的个数是 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.B [集合P中元素为(1,1),(1,2)，共2个.故选B.]

3. 集合$\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, ·s\}$用描述法可表示为 (D)

A.$\{x \mid x \geq 1\}$
B.$\{x \mid x \leq \sqrt{5}\}$
C.$\{x \mid x = \sqrt{n}\}$
D.$\{x \mid x = \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^*\}$

答案： $3.D [{1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5},⋯}$中的元素满足$\sqrt{n},$所以${1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5},⋯}={x|x=\sqrt{n},n∈N*},$故选D.]

4. 设集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + a = 0\}$，若 $4 \in A$，用列举法表示集合 $A$ 为{−1,4}.

答案： 4.{−1,4} [
∵4∈A，
∴16−12+a=0，
∴a=−4，
∴A={x|x²−3x−4=0}={−1,4}.]