《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 求下列函数的单调区间：
(1)$y = \sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$；
(2)$y = 2\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.$\left[k\pi+\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{11\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$$\left[k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$$\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{4},\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$$\left[\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12},\frac{2k\pi}{3}+\frac{5\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$

答案： 学以致用 1.解：
(1)$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=-\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$，
由$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$k\pi-\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{5\pi}{12}$
$k\in\mathbf{Z}$，
由$2k\pi+\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{3\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$k\pi+\frac{5\pi}{12}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{11\pi}{12}$
$k\in\mathbf{Z}$，
所以函数$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$的单调递增区间是$\left[k\pi+\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{11\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$，单调递减区间是$\left[k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$.
(2)由$2k\pi\leqslant3x-\frac{\pi}{4}\leqslant2k\pi+\pi$，得$\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant\frac{2k\pi}{3}+\frac{5\pi}{12}$
$k\in\mathbf{Z}$，
由$2k\pi-\pi\leqslant3x-\frac{\pi}{4}\leqslant2k\pi$，得$\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbf{Z}$，
所以函数$y=2\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$的单调递增区间是$\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac{\pi}{4},\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$，单调递减区间是$\left[\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{12},\frac{2k\pi}{3}+\frac{5\pi}{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$.

2. 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)$\cos\frac{15\pi}{8},\cos\frac{14\pi}{9}$；
(2)$\cos 1,\sin 1$；
(3)$\sin 164^{\circ}$与$\cos 110^{\circ}$.

答案： 典例讲评 2.解：
(1)$\cos\frac{15\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{8}$，$\cos\frac{14\pi}{9}=\cos\frac{4\pi}{9}$
因为$0＜\frac{\pi}{8}＜\frac{4\pi}{9}＜\pi$，
又$y=\cos x$在$[0,\pi]$上单调递减，
所以$\cos\frac{\pi}{8}＞\cos\frac{4\pi}{9}$，
即$\cos\frac{15\pi}{8}＞\cos\frac{14\pi}{9}$.
(2)因为$\cos1=\sin\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$，又$0＜\frac{\pi}{2}-1＜1＜\frac{\pi}{2}$，且$y=\sin x$在
$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增，
所以$\sin\left(\frac{\pi}{2}-1\right)＜\sin1$，即$\cos1＜\sin1$.
(3)$\sin164^{\circ}=\sin(180^{\circ}-16^{\circ})=\sin16^{\circ}$，
$\cos110^{\circ}=\cos(90^{\circ}+20^{\circ})=-\sin20^{\circ}=\sin(-20^{\circ})$.
因为$y=\sin x$在$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增，
所以$\sin(-20^{\circ})＜\sin16^{\circ}$，
即$\cos110^{\circ}＜\sin164^{\circ}$.

2. (源自湘教版教材)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)$\sin(-1),\sin(-1.1)$；
(2)$\cos\frac{11\pi}{7},\cos\frac{12\pi}{7}$.$\sin(-1)＞\sin(-1.1)$$\cos\frac{11\pi}{7}＜\cos\frac{12\pi}{7}$

答案： 学以致用 2.解：
(1)由于$-\frac{\pi}{2}＜-1＜-1.1＜\frac{\pi}{2}$，
且$y=\sin x$在区间$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增，
因此$\sin(-1)＞\sin(-1.1)$.
(2)由于$\pi＜\frac{11\pi}{7}＜\frac{12\pi}{7}＜2\pi$，且$y=\cos x$在区间$[\pi,2\pi]$上单调递增，
因此$\cos\frac{11\pi}{7}＜\cos\frac{12\pi}{7}$.