《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

【例 1】 (1)已知集合$A = \{0, 2\}, B = \{1, 2, 3\},C = \{ab \mid a \in A, b \in B\}$，则集合$C$中元素的个数为 (C)

A.6
B.5
C.4
D.3

答案：
(1)C [
(1)因为A={0,2},B={1,2,3},a∈A,b∈B,
所以ab=0或ab=2或ab=4或ab=6,故C={ab|a∈A,b∈B}=
{0,2,4,6},即集合C中含有4个元素.故选C.]

(2)(多选)已知集合$A = \{y \mid y = x^{2} + 1\}$，集合$B = \{(x, y) \mid y = x^{2} + 1\}$，下列关系正确的是 (AC)

A.$(1, 2) \in B$
B.$A = B$
C.$0 \notin A$
D.$2 \in B$

答案：
(2)AC [
(2)点(1,2)在函数y=x²+1图象上,有(1,2)∈B,A选项正确;集合
A为数集，集合B为点集，A≠B，B选项错误；函数y=x²+1的函数
值y的取值范围为{y|y≥1},则A={y|y≥1},0∉A,C选项正确;集
合B为点集,2∉B,D选项错误.故选AC.]

【例 2】 已知集合$A = \{x \mid x^{2} + 4x = 0\}, B = \{x \mid x^{2} + 2(a + 1)x + a^{2} - 1 = 0\}$.
(1)当$a = -\frac{1}{2}$时，求$A \cup B$及其子集个数；
(2)当$A \cup B = A$时，求实数$a$的取值范围.

答案： 解：
(1)A={0,-4},
当a=-$\frac{1}{2}$时，B={x|$x^{2}+x-\frac{3}{4}=0$}={$\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$},
故A∪B={$0,-4,\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$},有$2^{4}=16$个子集.
(2)若A∪B=A,则B⊆A,
当B=A时，方程$x^{2}+4x=0$与$x^{2}+2(a+1)x+a^{2}-1=0$是同一方
程，故$\begin{cases}4=2(a+1),\\0=a^{2}-1,\end{cases}$得a=1.
当B⊊A时：
①B=∅时，$x^{2}+2(a+1)x+a^{2}-1=0$的Δ=$4(a+1)^{2}-4(a^{2}-1)＜$
0,得a＜-1;
②B≠∅时，B是单元素集，则Δ=0，
∴a=-1,此时B={0},符合题意.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤-1或a=1}.