《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

[典例讲评] 2. 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)$y = -x$, $x \in \{0,1,-2,3\}$;
(2)$y = \frac{2}{x}$, $x \in [2, +\infty)$;
(3)$y = x^2 + 2x$, $x \in [-2,2)$.

答案：
典例讲评2.解：
(1)列表：
$x$ 0 1 -2 3
$y$ 0 -1 2 -3
函数图象是四个点$(0,0)$，$(1,-1)$，$(-2,2)$，$(3,-3)$，其值域为$\{ 0,-1,2,-3\}$．

(2)列表：
$x$ 2 3 4 5 $·s$
$y$ 1 $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{5}$ $·s$

当$x \in [2, + \infty )$时，图象是反比例函数$y = \frac{2}{x}$的一部分，观察图象可知其值域为$(0,1]$．
(3)列表：
$x$ -2 -1 0 1 2
$y$ 0 -1 0 3 8
画图象，图象是抛物线$y = x^{2} + 2x$在$-2 \leq x ＜ 2$之间的部分.

由图可得该函数的值域为$[-1,8)$．

[学以致用] 【链接教材P72练习T1】
2. 画出下列函数的图象：
(1)$y = x + 1(x \leq 0)$;
(2)$y = x^2 - 2x(x ＞ 1 或 x ＜ -1)$.

答案：
学以致用　2.解：
(1)$y = x + 1(x \leq 0)$表示一条射线，图象如图①.
(2)$y = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1(x ＞ 1$或$x ＜ -1)$是抛物线$y = x^{2} - 2x$去掉$-1 \leq x \leq 1$之间的部分后剩余曲线.如图②实线部分.

① ②

[典例讲评] 3. 已知$f(\sqrt{x} + 1) = x - 2\sqrt{x}$, 求$f(x)$.

答案： 典例讲评　3.解：法一（换元法）：令$t = \sqrt{x} + 1$，则$t \geq 1$，$x = (t - 1)^{2}$，代入原式有$f(t) = (t - 1)^{2} - 2(t - 1) + 3 = t^{2} - 4t + 3$，所以$f(x) = x^{2} - 4x + 3(x \geq 1)$．
法二（配凑法）：$f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} + 1 - 4\sqrt{x} - 4 + 3 = (\sqrt{x} + 1)^{2} - 4(\sqrt{x} + 1) + 3$，
因为$\sqrt{x} + 1 \geq 1$，
所以$f(x) = x^{2} - 4x + 3(x \geq 1)$．

[典例讲评] 4. 已知$f(x)$是一次函数，且$f(f(x)) = 16x - 25$, 求$f(x)$.

答案： 典例讲评　4.解：设$f(x) = kx + b(k \neq 0)$，
则$f(f(x)) = k(kx + b) + b = k^{2}x + kb + b = 16x - 25$，
$\begin{cases}k^{2} = 16, \\kb + b = -25,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k = 4, \\b = -5\end{cases}$或$\begin{cases}k = -4, \\b = \frac{25}{3}\end{cases}$
$\therefore f(x) = 4x - 5$或$f(x) = -4x + \frac{25}{3}$．