《2026年非常学案高中数学选择性必修第一册人教版》

问题1 观察下列命题，思考并回答下列问题：
①$p$：1的相反数是$-1$；$q$：1的相反数不是$-1$.
②$p$：$\pi$是有理数；$q$：$\pi$不是有理数.
(1)命题$p$与$q$之间有什么关系？
(2)命题$p$与命题$q$的真假存在什么关系？提示：(1)命题p是对命题q的否定，命题q也是对命题p的否定.(2)①中命题p真q假，②中命题p假q真.p与q一真一假.

答案： 提示：
(1)命题p是对命题q的否定，命题q也是对命题p的否定.
(2)①中命题p真q假，②中命题p假q真.p与q一真一假.

[新知生成]
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

答案： 一真一假

问题2 “$\forall x \in \mathbf{R}$，有$x + 1 ＞ 0$”是一个全称量词命题，如何否定它？提示：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x+1＞0不成立，即找到一个实数x，使x+1≤0，也就是“∃x∈R，使x+1≤0”，它是一个存在量词命题.

答案： 提示：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x+1＞0不成立，即找到一个实数x，使x+1≤0，也就是“∃x∈R，使x+1≤0”，它是一个存在量词命题.

[新知生成]
全称量词命题：$\forall x \in M,p(x)$，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.

答案： ∃x∈M，¬p(x) 存在量词

1.(源自北师大版教材)写出下列全称量词命题的否定：
(1)任意一个一元二次函数的图象都与$x$轴相交；
(2)$\forall x \in \mathbf{R}$，有$\sqrt{x^{2}} = x$.

答案： 解：
(1)“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”.
(2)“∀x∈R，有$\sqrt{x^2}=x”$的否定是“∃x∈R，使$\sqrt{x^2}≠x”.$

全称量词命题$\stackrel{\text { 否定 }}{→}$存在量词命题
①全称量词($\forall$)$\stackrel{\text { 改为 }}{→}$存在量词(∃)；
②结论$\stackrel{\text { 否定 }}{→}$否定结论.

答案： 存在 存在量词(∃)

[学以致用] 1.写出下列命题的否定：
(1)$\forall n \in \mathbf{N},n \in \mathbf{R}$；
(2)任意偶数的平方还是偶数；
(3)每个圆形都是中心对称图形.∃n∈N，n∉R.存在一个偶数的平方不是偶数.存在一个圆形不是中心对称图形.

答案： 解：
(1)∃n∈N，n∉R.
(2)存在一个偶数的平方不是偶数.
(3)存在一个圆形不是中心对称图形.